Suponha que uma fábrica de materiais cerâmicos tem como parte de seu processo um forno retangular que é isolado do meio externo por 2 camadas, que formam a sua parede. A primeira camada de espessura \mathrm{L}_{1} está em contato com o material que está dentro do forno e é constituída de material refratário especial ( \mathrm{k}=0,50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ). A segunda camada é constituída de um material isolante ( \mathrm{k}=0,1 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ) e tem espessura \mathrm{L}_{2}. A temperatura na face interna do forno ( \mathrm{T}_{\text {int }} ) é igual a 925^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura ambiente ( \mathrm{T}_{\text {amb }} ) é igual a 25^{\circ} \mathrm{C}. O fluxo de calor através da parede do forno (Q) é constante e igual a 1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} e a espessura total da parede é de 0,30 \mathrm{~m}.
São dadas as seguintes expressōes matemáticas:
Q=\frac{\text { Tint }- \text { Tamb }}{R} ; \quad \quad R_{\text {conveccao }}=\frac{1}{h A} ; \quad \quad R_{1}=\frac{L_{1}}{k_{1} A}
em que:
k é a condutividade térmica;
h é o coeficiente de transferência térmica ( \mathrm{h}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C} para o ar);
R é a resistência a transferência de calor;
Com base na situação-problema acima e considerando que a área A é igual a 1 \mathrm{~m}^{2}, faça o que se pede nos itens a seguir.
a) Esboce um desenho que represente o circuito térmico equivalente, ou seja, o circuito formado pela resistência à transferência de calor entre a parte interna do forno e o meio externo, usando analogia com resistências elétricas. (valor: 2,0 pontos)
b) Determine a espessura de cada uma das camadas que formam a parede do forno. (valor: 5,0 pontos)
c) Determine a temperatura da superficie externa das camadas. (valor: 3,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede três coisas e dá os seguintes dados (vou listar tudo de forma clara para não nos perdermos):
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura interna do forno: T_{\text{int}}=925^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura ambiente: T_{\text{amb}}=25^\circ\mathrm{C}.
    • Fluxo de calor através da parede (por unidade de área): Q=1000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • Condutividade térmica da primeira camada (refratário): k_{1}=0,50\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}.
    • Condutividade térmica da segunda camada (isolante): k_{2}=0,10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}.
    • Espessura total da parede: L_{1}+L_{2}=0,30\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente convectivo do ar: h=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2{ }^\circ\mathrm{C}.
    • Área considerada: A=1\\ \mathrm{m}^2 (simplifica os cálculos).
  • O que o enunciado pede:
    (a) Esboçar o circuito térmico equivalente (analogia com resistências elétricas).
    (b) Determinar as espessuras L_{1} e L_{2}.
    (c) Determinar a temperatura da(s) superfície(s) externa(s) das camadas (isto é, as temperaturas das faces entre camadas e da face externa exposta ao ar).

Passo 2

Esboço do circuito térmico equivalente (resposta do item (a)) — explicação e figura em texto.
Na analogia térmica cada resistência corresponde a um obstáculo à transferência de calor:
  • resistência por condução na camada 1: R_{1}=\dfrac{L_{1}}{k_{1}A};
  • resistência por condução na camada 2: R_{2}=\dfrac{L_{2}}{k_{2}A};
  • resistência por convecção no exterior: R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{hA}.
As resistências estão em série (o calor atravessa uma após a outra), então o circuito é:
[T_int] — R_{1}=\dfrac{L_{1}}{k_{1}A} — (interface) — R_{2}=\dfrac{L_{2}}{k_{2}A} — (superfície externa do sólido) — R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{hA} — [T_amb]
Esse esboço textual é o circuito pedido: três resistências em série ligando T_{\text{int}} a T_{\text{amb}}.

Passo 3

Montagem das equações que vamos usar (fórmulas e interpretação, bem mastigado).
  • Lei análoga de Ohm para calor: Q=\frac{T_{\text{int}}-T_{\text{amb}}}{R_{\text{total}}}
em que R_{\text{total}}=R_{1}+R_{2}+R_{\text{conv}}.
  • Recordando as expressões:
R_{1}=\frac{L_{1}}{k_{1}A},\qquad R_{2}=\frac{L_{2}}{k_{2}A},\qquad R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA}.
  • Como A=1\\ \mathrm{m}^2, podemos simplificar R_{1}=\dfrac{L_{1}}{k_{1}} e R_{2}=\dfrac{L_{2}}{k_{2}} e R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{h}.
Nossa estratégia: calcular R_{\text{total}} a partir de Q e \Delta T=T_{\text{int}}-T_{\text{amb}}, subtrair a resistência convectiva para obter a soma das resistências de condução, e usar também L_{1}+L_{2}=0,30\\ \mathrm{m} para resolver o sistema linear para L_{1} e L_{2}.

Passo 4

Calcular R_{\text{total}} e separar a parte de condução.
  • Primeiro, a diferença de temperatura:
\Delta T = T_{\text{int}}-T_{\text{amb}}=925-25=900\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • A resistência total vem de:
R_{\text{total}}=\frac{\Delta T}{Q}=\frac{900}{1000}=0,9\\ \frac{\mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{W}}.
  • A resistência de convecção (com h=10 e A=1) é:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA}=\frac{1}{10\cdot 1}=0,1\\ \frac{\mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{W}}.
  • Logo, a soma das resistências por condução é:
R_{1}+R_{2}=R_{\text{total}}-R_{\text{conv}}=0,9-0,1=0,8\\ \frac{\mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{W}}.
Substituindo R_{1}=\dfrac{L_{1}}{k_{1}} e R_{2}=\dfrac{L_{2}}{k_{2}} com k_{1}=0,50 e k_{2}=0,10, obtemos a equação numérica:
\frac{L_{1}}{0,50}+\frac{L_{2}}{0,10}=0,8.
Simplificando:
2\,L_{1}+10\,L_{2}=0,8.
E lembrando da espessura total:
L_{1}+L_{2}=0,30.

Passo 5

Resolver o sistema linear para L_{1} e L_{2} (passo a passo).
  • Da equação L_{1}+L_{2}=0,30 isolamos L_{1}:
L_{1}=0,30-L_{2}.
  • Substituindo em 2L_{1}+10L_{2}=0,8:
2(0,30-L_{2})+10L_{2}=0,8.
  • Desenvolvendo:
0,60-2L_{2}+10L_{2}=0,8 \quad\Rightarrow\quad 0,60+8L_{2}=0,8.
  • Isolando L_{2}:
8L_{2}=0,8-0,60=0,2 \quad\Rightarrow\quad L_{2}=\frac{0,2}{8}=0,025\\ \mathrm{m}.
  • Então L_{1}=0,30-L_{2}=0,30-0,025=0,275\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: a camada isolante (com k_{2} pequeno) precisa ser relativamente fina para manter o fluxo dado; a camada refratária (mais condutora térmica) fica mais grossa.

Passo 6

Determinar as temperaturas nas superfícies (resposta do item (c)) — procedimento e cálculos detalhados.
A queda de temperatura em cada resistência é \Delta T = Q\cdot R. Vamos calcular as três quedas e as temperaturas nas interfaces.
  • Resistência convectiva:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA}=0,1\quad\Rightarrow\quad \Delta T_{\text{conv}}=Q\cdot R_{\text{conv}}=1000\cdot 0,1=100\\ ^\circ\mathrm{C}.
Portanto a temperatura da superfície externa do sólido (face externa da camada 2), chamada T_{\text{surf,ext}}, vale:
T_{\text{surf,ext}}=T_{\text{amb}}+\Delta T_{\text{conv}}=25+100=125^\circ\mathrm{C}.
  • Queda na camada 2 (isolante):
R_{2}=\frac{L_{2}}{k_{2}}=\frac{0,025}{0,10}=0,25\quad\Rightarrow\quad \Delta T_{2}=Q\cdot R_{2}=1000\cdot 0,25=250\\ ^\circ\mathrm{C}.
A temperatura na interface entre as duas camadas (face interna da camada 2 / face externa da camada 1), chamada T_{\text{interface}}, é:
T_{\text{interface}}=T_{\text{surf,ext}}+\Delta T_{2}=125+250=375^\circ\mathrm{C}.
  • Queda na camada 1 (refratário):
R_{1}=\frac{L_{1}}{k_{1}}=\frac{0,275}{0,50}=0,55\quad\Rightarrow\quad \Delta T_{1}=Q\cdot R_{1}=1000\cdot 0,55=550\\ ^\circ\mathrm{C}.
A temperatura na superfície interna da camada 1 (lado do forno) é:
T_{\text{int}} = T_{\text{interface}}+\Delta T_{1}=375+550=925^\circ\mathrm{C},
o que confere com o valor dado originalmente — bom sinal de consistência.
Resumo das temperaturas importantes:
  • T_{\text{amb}}=25^\circ\mathrm{C} (ambiente),
  • T_{\text{surf,ext}}=125^\circ\mathrm{C} (face externa do sólido, antes da convecção),
  • T_{\text{interface}}=375^\circ\mathrm{C} (entre as camadas),
  • T_{\text{int}}=925^\circ\mathrm{C} (interior do forno, dado).

Passo 7

Verificação e comentário prático rápido (para a prova): conferimos que as quedas de temperatura somam corretamente
\Delta T_{1}+\Delta T_{2}+\Delta T_{\text{conv}}=550+250+100=900^\circ\mathrm{C}=T_{\text{int}}-T_{\text{amb}},
logo tudo está consistente. Mantém a calma — esse tipo de exercício é só montar as resistências, escrever as equações lineares e resolver. Dá para fazer rápido na prova.

Resposta

(a) Circuito térmico equivalente (todas em série): [T_{\text{int}}] R_{1}=\dfrac{L_{1}}{k_{1}A} — (interface) — R_{2}=\dfrac{L_{2}}{k_{2}A} — (superfície externa) — R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{hA} [T_{\text{amb}}]
(b) L_{1}=0,275\\ \mathrm{m},\quad L_{2}=0,025\\ \mathrm{m}.
(c) Temperaturas das superfícies:
  • Temperatura da face externa do sólido (superfície antes da convecção): T_{\text{surf,ext}}=125^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da interface entre as camadas: T_{\text{interface}}=375^\circ\mathrm{C}.

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