Suponha que uma fábrica produz por dia 40 peças metálicas para candeeiros. A máquina de acabamento não está devidamente ajustada, produzindo uma peça defeituosa em 10 peças. Determine a probabilidade de se obter no máximo, 2 peças defeituosas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Produzem-se por dia
peças metálicas. - A máquina produz, em média, uma peça defeituosa a cada
peças. Isso nos dá a probabilidade de defeito por peça: . - Pergunta: determinar a probabilidade de se obter, naquele dia, no máximo
peças defeituosas, isto é, onde é o número de peças defeituosas nas produzidas.
Passo 2
Por que podemos modelar isso por uma distribuição comumente usada em contagem de sucessos/fracassos em vários ensaios idênticos? Vou explicar devagarinho, como se estivéssemos conversando na mesa de estudo:
- Temos um número fixo de ensaios (aqui,
peças). - Cada peça tem duas possibilidades relevantes: “defeituosa” ou “não defeituosa”.
- A probabilidade de defeito por peça é a mesma para todas as peças (
). - Supondo que o defeito de uma peça não influa no defeito de outra (independência aproximada), podemos usar a fórmula padrão para a probabilidade de obter exatamente
defeituosas em ensaios idênticos.
Passo 3
A fórmula que vamos usar (vou explicar cada parte) é:
onde:
-
é o número de maneiras de escolher quais peças, entre as , são as defeituosas. Esse valor é calculado por . -
é a probabilidade de as escolhidas serem defeituosas (cada uma com probabilidade ). -
é a probabilidade de as restantes não serem defeituosas.
No nosso caso,
e
. Precisamos de:
Passo 4
Calculemos termo a termo. Primeiro as combinações:
-
. -
. -
.
Agora escrevemos cada probabilidade usando
e
:
Para facilitar as contas sem uma calculadora pesada, vamos relacionar todas as potências a
:
Assim:
Passo 5
Agora precisamos de um valor numérico para
. Uma forma prática de lembrar/estimar é usar potências menores conhecidas:
. Então
e
Agora calculamos cada termo numérico (vou mostrar os passos intermediários):
Passo 6
Somando os três termos obtemos a probabilidade pedida:
Uma forma rápida de checar (só para intuição): o valor esperado é
. Então é razoável que a probabilidade de ficar em até
(abaixo da média) seja algo na casa de
–
. Nossa resposta numérica faz sentido.