Suponha que uma fábrica produz por dia 40 peças metálicas para candeeiros. A máquina de acabamento não está devidamente ajustada, produzindo uma peça defeituosa em 10 peças. Determine a probabilidade de se obter no máximo, 2 peças defeituosas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Produzem-se por dia 40 peças metálicas.
  • A máquina produz, em média, uma peça defeituosa a cada 10 peças. Isso nos dá a probabilidade de defeito por peça: p=0,1.
  • Pergunta: determinar a probabilidade de se obter, naquele dia, no máximo 2 peças defeituosas, isto é, \Pr(X\le 2) onde X é o número de peças defeituosas nas 40 produzidas.

Passo 2

Por que podemos modelar isso por uma distribuição comumente usada em contagem de sucessos/fracassos em vários ensaios idênticos? Vou explicar devagarinho, como se estivéssemos conversando na mesa de estudo:
  • Temos um número fixo de ensaios (aqui, n=40 peças).
  • Cada peça tem duas possibilidades relevantes: “defeituosa” ou “não defeituosa”.
  • A probabilidade de defeito por peça é a mesma para todas as peças ( p=0,1).
  • Supondo que o defeito de uma peça não influa no defeito de outra (independência aproximada), podemos usar a fórmula padrão para a probabilidade de obter exatamente k defeituosas em n ensaios idênticos.

Passo 3

A fórmula que vamos usar (vou explicar cada parte) é:
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}
onde:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k peças, entre as n, são as defeituosas. Esse valor é calculado por \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
  • p^{k} é a probabilidade de as k escolhidas serem defeituosas (cada uma com probabilidade p).
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de as restantes n-k não serem defeituosas.
No nosso caso, n=40 e p=0,1. Precisamos de:
\Pr(X\le 2)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)+\Pr(X=2).

Passo 4

Calculemos termo a termo. Primeiro as combinações:
  • \binom{40}{0}=1.
  • \binom{40}{1}=40.
  • \binom{40}{2}=\dfrac{40\cdot 39}{2}=780.
Agora escrevemos cada probabilidade usando p=0,1 e 1-p=0,9:
\Pr(X=0)=\binom{40}{0}(0,1)^{0}(0,9)^{40}=(0,9)^{40}.
\Pr(X=1)=\binom{40}{1}(0,1)^{1}(0,9)^{39}=40\cdot 0,1\cdot (0,9)^{39}=4\cdot(0,9)^{39}.
\Pr(X=2)=\binom{40}{2}(0,1)^{2}(0,9)^{38}=780\cdot 0,01\cdot (0,9)^{38}=7,8\cdot(0,9)^{38}.
Para facilitar as contas sem uma calculadora pesada, vamos relacionar todas as potências a (0,9)^{40}:
(0,9)^{39}=\dfrac{(0,9)^{40}}{0,9},\qquad (0,9)^{38}=\dfrac{(0,9)^{40}}{0,9^{2}}.
Assim:
\Pr(X=0)=(0,9)^{40},
\Pr(X=1)=4\cdot \dfrac{(0,9)^{40}}{0,9},
\Pr(X=2)=7,8\cdot \dfrac{(0,9)^{40}}{0,9^{2}}.

Passo 5

Agora precisamos de um valor numérico para (0,9)^{40}. Uma forma prática de lembrar/estimar é usar potências menores conhecidas: (0,9)^{10}\approx 0,3486784401. Então
(0,9)^{20}=(0,9)^{10}\cdot(0,9)^{10}\approx 0,1215766546,
e
(0,9)^{40}=(0,9)^{20}\cdot(0,9)^{20}\approx 0,014776336.
Agora calculamos cada termo numérico (vou mostrar os passos intermediários):
\Pr(X=0)\approx 0,014776336.
\Pr(X=1)=4\cdot \dfrac{0,014776336}{0,9}\approx 4\cdot 0,0164181511\approx 0,0656726044.
\Pr(X=2)=7,8\cdot \dfrac{0,014776336}{0,9^{2}}=7,8\cdot \dfrac{0,014776336}{0,81}\approx 7,8\cdot 0,0182377074\approx 0,142276.

Passo 6

Somando os três termos obtemos a probabilidade pedida:
\Pr(X\le 2)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)+\Pr(X=2)\approx 0,014776336+0,0656726044+0,142276\approx 0,2227.
Uma forma rápida de checar (só para intuição): o valor esperado é \mathbb{E}[X]=np=40\cdot 0,1=4. Então é razoável que a probabilidade de ficar em até 2 (abaixo da média) seja algo na casa de 20\% 30\%. Nossa resposta numérica faz sentido.

Resposta

\,0,2227

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