Seja f(x)=\left\{\begin{array}{c}k x, \quad 0<x \leq 1 \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.á
a) Determine o valor k de modo que \mathrm{f}(\mathrm{x}) seja uma f.d.p.
b) \mathrm{P}(0 \leq \mathrm{x} \leq 1 / 2)
c) E(X), V(X) e \sigma(\mathrm{X})

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade
f(x)=\begin{cases}kx, & 0<x\leq 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}á
As perguntas são:
a) Determinar k de modo que f seja uma f.d.p.
b) Calcular \mathrm{P}(0\leq X\leq 1/2).
c) Calcular \mathrm{E}(X), \mathrm{V}(X) e \sigma(X).
As informações relevantes fornecidas: a densidade é kx no intervalo (0,1] e zero fora desse intervalo. Não há mais dados externos.]

Passo 2

Condição que define uma função densidade de probabilidade: a integral da densidade em toda a reta deve ser igual a 1. Aqui a densidade é não nula só em (0,1], então a condição é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{1} kx\,dx = 1.
Vamos calcular a integral e achar k. A primitiva de x é x^{2}/2, logo
\int_{0}^{1} kx\,dx = k\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = k\cdot\frac{1^{2}-0^{2}}{2} = \frac{k}{2}.
Igualando a 1 obtemos \dfrac{k}{2}=1, portanto
k=2.

Passo 3

Para calcular \mathrm{P}(0\leq X\leq 1/2) usamos a integral da densidade no intervalo pedido. Com k=2,
\mathrm{P}\bigl(0\leq X\leq 1/2\bigr)=\int_{0}^{1/2} 2x\,dx.
Calcule a integral: a primitiva de 2x é x^{2}, então
\int_{0}^{1/2} 2x\,dx = \left[x^{2}\right]_{0}^{1/2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-0 = \frac{1}{4}.

Passo 4

Fórmula da esperança para variável aleatória contínua: \mathrm{E}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx. Aqui a densidade é nula fora de (0,1], então
\mathrm{E}(X)=\int_{0}^{1} x\cdot (2x)\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
A primitiva de x^{2} é x^{3}/3, então
2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = 2\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

Passo 5

Para a variância precisamos de \mathrm{E}(X^{2}). A fórmula é \mathrm{E}(X^{2})=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f(x)\,dx. Aqui,
\mathrm{E}(X^{2})=\int_{0}^{1} x^{2}\cdot (2x)\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{3}\,dx.
A primitiva de x^{3} é x^{4}/4, então
2\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = 2\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{2}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da variância: \mathrm{V}(X)=\mathrm{E}(X^{2})-\bigl(\mathrm{E}(X)\bigr)^{2}. Substituindo os valores que encontramos,
\mathrm{V}(X)=\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{1}{2}-\frac{4}{9}.
Colocando num denominador comum 18:
\frac{1}{2}=\frac{9}{18},\qquad \frac{4}{9}=\frac{8}{18},
logo
\mathrm{V}(X)=\frac{9}{18}-\frac{8}{18}=\frac{1}{18}.

Passo 7

O desvio padrão é \sigma(X)=\sqrt{\mathrm{V}(X)}. Assim
\sigma(X)=\sqrt{\frac{1}{18}} = \frac{1}{\sqrt{18}}.
Podemos simplificar \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}, portanto
\sigma(X)=\frac{1}{3\sqrt{2}}.
Se preferir racionalizar o denominador, \dfrac{1}{3\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}.

Resposta

a) k=2
b) \mathrm{P}(0\leq X\leq 1/2)=\dfrac{1}{4}
c) \mathrm{E}(X)=\dfrac{2}{3},\quad \mathrm{V}(X)=\dfrac{1}{18},\quad \sigma(X)=\sqrt{\dfrac{1}{18}}=\dfrac{1}{3\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}

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