Seja f(x)=\left\{\begin{array}{c}k x, \quad 0<x \leq 1 \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.
a) Determine o valor k de modo que \mathrm{f}(\mathrm{x}) seja uma f.d.p.
b) \mathrm{P}(0 \leq \mathrm{x} \leq 1 / 2)
c) E(X), V(X) e \sigma(\mathrm{X})
Passo 1
O enunciado dá a função densidade de probabilidade
As perguntas são:
a) Determinar k de modo que f seja uma f.d.p.
b) Calcular \mathrm{P}(0\leq X\leq 1/2).
c) Calcular \mathrm{E}(X), \mathrm{V}(X) e \sigma(X).
As informações relevantes fornecidas: a densidade é kx no intervalo (0,1] e zero fora desse intervalo. Não há mais dados externos.]
Passo 2
Condição que define uma função densidade de probabilidade: a integral da densidade em toda a reta deve ser igual a 1. Aqui a densidade é não nula só em (0,1], então a condição é
Fórmula da esperança para variável aleatória contínua: \mathrm{E}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx. Aqui a densidade é nula fora de (0,1], então
Se preferir racionalizar o denominador, \dfrac{1}{3\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}.
Resposta
a) k=2
b) \mathrm{P}(0\leq X\leq 1/2)=\dfrac{1}{4}
c) \mathrm{E}(X)=\dfrac{2}{3},\quad \mathrm{V}(X)=\dfrac{1}{18},\quad \sigma(X)=\sqrt{\dfrac{1}{18}}=\dfrac{1}{3\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}