Suponha que uma fábrica tem duas máquinas A e B responsáveis, respectivamente, por 60 % e 40 % da produção total. A máquina A produz 3 % de itens defeituosos, enquanto a máquina B produz 5 % de itens defeituosos. Determine a probabilidade de que um dado item defeituoso foi produzido pela máquina B.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que uma fábrica tem duas máquinas, A e B. A máquina A faz 60% da produção e tem 3% de defeitos; a B faz 40% da produção e tem 5% de defeitos. A pergunta é: “dado que pegamos um item defeituoso, qual a chance de ele ter vindo da máquina B?”.
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que precisamos:
  • P(A) = 0,6; P(B) = 0,4
  • P(defeito|A) = 0,03; P(defeito|B) = 0,05
  • Aplicar Bayes:

Passo 2

Primeiro, vamos achar P(defeito) = P(defeito|A),P(A);+;P(defeito|B),P(B) , que é a probabilidade de um item ser defeituoso vindo de qualquer máquina.
Pela regra da soma (ou probabilidade total):
P(defeito) = 0,03 times 0,6 ;+; 0,05 times 0,4 = 0,018 ;+; 0,020 = 0,038
Substituindo:

Passo 3

Agora usamos o Teorema de Bayes pra achar P(B|defeito) = P(defeito|B),P(B)P(defeito) = 0,05 times 0,40,038 = 0,0200,038 :

Passo 4

Basta simplificar essa fração ou calcular em porcentagem:
0,0200,038 approx 0,5263 = 52,63%

Resposta

A probabilidade de um item defeituoso ter sido produzido pela máquina B é de aproximadamente 52,63%.

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