Se você possui 3 bilhetes de uma loteria para a qual se vendeu n bilhetes e existem 5 prêmios, qual a probabilidade de você ganhar pelo menos um prêmio?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: você tem 3 bilhetes de uma loteria onde foram vendidos um total de $ n $ bilhetes, e existem 5 prêmios disponíveis. A pergunta é: qual a probabilidade de você ganhar pelo menos um desses prêmios?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinatória. Precisamos calcular as chances de, entre os 5 prêmios, pelo menos um cair em um dos seus 3 bilhetes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “ganhar pelo menos um prêmio”. Isso inclui ganhar um, dois, três prêmios, e assim por diante, até ganhar todos os 5 prêmios. Mas calcular a probabilidade de cada um desses casos separadamente pode ser complicado. Então, uma estratégia mais fácil é calcular a probabilidade de não ganhar nenhum prêmio e, depois, subtrair esse valor de 1.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de não ganhar nenhum prêmio. Para isso, vamos pensar nos bilhetes que não são seus. Há um total de $ n - 3 $ bilhetes que não são seus. Queremos que todos os 5 prêmios sejam sorteados entre esses $ n - 3 $ bilhetes.
A quantidade de maneiras de escolher 5 prêmios entre os $ n - 3 $ bilhetes é dada por combinações:
n - 3

Passo 4

Agora, vamos calcular a quantidade total de maneiras de escolher 5 prêmios entre todos os $ n $ bilhetes vendidos:
n

Passo 5

A probabilidade de não ganhar nenhum prêmio é a razão entre o número de maneiras de escolher 5 prêmios entre os bilhetes que não são seus e o número total de maneiras de escolher 5 prêmios:
P(nenhum prêmio) = binomn - 35binomn5 ê

Passo 6

Agora, para encontrar a probabilidade de ganhar pelo menos um prêmio, subtraímos a probabilidade de não ganhar nenhum prêmio de 1:
P(pelo menos um prêmio) = 1 - P(nenhum prêmio) êê
P(pelo menos um prêmio) = 1 - binomn - 35binomn5 ê

Resposta

A probabilidade de você ganhar pelo menos um prêmio é:
P(pelo menos um prêmio) = 1 - binomn - 35binomn5 ê

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