Se você possui 3 bilhetes de uma loteria para a qual se vendeu
bilhetes e existem 5 prêmios, qual a probabilidade de você ganhar pelo menos um prêmio?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: você tem 3 bilhetes de uma loteria onde foram vendidos um total de $ n $ bilhetes, e existem 5 prêmios disponíveis. A pergunta é: qual a probabilidade de você ganhar pelo menos um desses prêmios?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinatória. Precisamos calcular as chances de, entre os 5 prêmios, pelo menos um cair em um dos seus 3 bilhetes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “ganhar pelo menos um prêmio”. Isso inclui ganhar um, dois, três prêmios, e assim por diante, até ganhar todos os 5 prêmios. Mas calcular a probabilidade de cada um desses casos separadamente pode ser complicado. Então, uma estratégia mais fácil é calcular a probabilidade de não ganhar nenhum prêmio e, depois, subtrair esse valor de 1.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de não ganhar nenhum prêmio. Para isso, vamos pensar nos bilhetes que não são seus. Há um total de $ n - 3 $ bilhetes que não são seus. Queremos que todos os 5 prêmios sejam sorteados entre esses $ n - 3 $ bilhetes.
A quantidade de maneiras de escolher 5 prêmios entre os $ n - 3 $ bilhetes é dada por combinações:
Passo 4
Agora, vamos calcular a quantidade total de maneiras de escolher 5 prêmios entre todos os $ n $ bilhetes vendidos:
Passo 5
A probabilidade de não ganhar nenhum prêmio é a razão entre o número de maneiras de escolher 5 prêmios entre os bilhetes que não são seus e o número total de maneiras de escolher 5 prêmios:
Passo 6
Agora, para encontrar a probabilidade de ganhar pelo menos um prêmio, subtraímos a probabilidade de não ganhar nenhum prêmio de 1:
Resposta
A probabilidade de você ganhar pelo menos um prêmio é: