Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20 % de todo o leite que utiliza de uma fazenda F1, 35 % de uma outra fazenda F2 e 45 % da fazenda F3. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20 % de leite produzido por F1 estava adulterado por adição de água, enquanto que para F2 e F3, essa proporção era de 5 % e 2 %, respectivamente. Na indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das fazendas. Determine qual é a probabilidade de uma amostra adulterada ter sido obtida do leite fornecido pela fazenda Fi, para i=1,2,3 ?
Dica. Considere o evento A= o leite está adulterado, e com abuso de notação, os eventos Fi= o leite foi produzido pela fazenda Fi. Agora, use o Teorema de Bayes.

Passo 1

O enunciado apresenta uma situação de mistura de leite proveniente de três fazendas F1, F2 e F3 e pede a probabilidade de que, dada uma amostra adulterada ( A), ela tenha vindo de cada fazenda. O conteúdo é probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos precisar das probabilidades prévias P(Fi) e das probabilidades de adulteração P(Amid Fi).

Passo 2

Primeiro listamos os dados:
P(F1) = 0,20, P(F2) = 0,35, P(F3) = 0,45,
P(Amid F1) = 0,20, P(Amid F2) = 0,05, P(Amid F3) = 0,02

Passo 3

Calcular a probabilidade total de adulteração P(A) usando a regra da soma ponderada:
P(A) = sumi=1^3 P(Fi),P(Amid Fi) =0,20cdot0,20 + 0,35cdot0,05 + 0,45cdot0,02
Fazendo as contas:
P(A) = 0,04 + 0,0175 + 0,009 = 0,0665

Passo 4

Aplicar o Teorema de Bayes para F1:
P(F1mid A) =P(F1),P(Amid F1)P(A) =0,20cdot0,200,0665 =0,040,0665approx0,6015

Passo 5

Aplicar o Teorema de Bayes para F2:
P(F2mid A) =P(F2),P(Amid F2)P(A) =0,35cdot0,050,0665 =0,01750,0665approx0,2632

Passo 6

Aplicar o Teorema de Bayes para F3:
P(F3mid A) =P(F3),P(Amid F3)P(A) =0,45cdot0,020,0665 =0,0090,0665approx0,1353

Resposta

P(F1mid A)approx0,6015, P(F2mid A)approx0,2632, P(F3mid A)approx0,1353

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