Suponha que um fio isolante é curvado formando um semicírculo de raio
. Metade do fio é carregado com carga
a outra metade é carregado com carga -Q. Qual a magnitude do campo elétrico no centro do semicírculo? Use
e dê sua resposta em
.
nenhuma das outras
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um fio isolante dobrado em semicírculo de raio
Metade desse semicírculo está carregada com carga
A pergunta é: qual a magnitude do campo elétrico no centro do semicírculo?
Conteúdo: Coulomb, densidade linear de carga, cálculo de campo por integração e simetria. Vamos precisar:
Conteúdo: Coulomb, densidade linear de carga, cálculo de campo por integração e simetria. Vamos precisar:
- escrever o campo como integral de
, - parametrizar o semicírculo em
, - usar densidade linear
, - explorar a simetria para ver que só sobra componente horizontal.
Passo 2
Definindo coordenadas: o semicírculo fica no plano
, de
a
, raio
.
Escolho:
Escolho:
-
na ponta direita , -
na ponta esquerda .
Metade do arco, digamos dea , tem carga ; de a tem .
A densidade linear de carga em cada parte é
Passo 3
Campo elétrico no centro pela lei de Coulomb (cada pedacinho de carga
em distância
):
No centro, o vetor de cada elemento
é radial (de centro para o elemento).
Mas como o campo de carga positiva aponta para o centro e de carga negativa sai do centro, podemos escrever de forma unificada:
Mas como o campo de carga positiva aponta para o centro e de carga negativa sai do centro, podemos escrever de forma unificada:
onde
aponta do centro ao elemento.
E .
E
Passo 4
Vamos decompor em
e
.
Com simetria, a componente some:
Com simetria, a componente
Mas
e
, e
. Logo
.
A componente
dá:
Sabendo
e
,
O sinal negativo indica que o campo aponta para a esquerda, mas a magnitude é
Passo 5
Bastaplug in:
Então
Resposta
A magnitude do campo elétrico no centro vale