Suponha que um fio isolante é curvado formando um semicírculo de raio a=6,55 e-02 m. Metade do fio é carregado com carga Q=9,84 e-06 C a outra metade é carregado com carga -Q. Qual a magnitude do campo elétrico no centro do semicírculo? Use k=9 times 10^9 N m^2 / C^2 e dê sua resposta em N / C.
square 3,84 e+07nenhuma das outras 2,63 e+07 1,44 e+07

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um fio isolante dobrado em semicírculo de raio
a = 6,55times10^-2,m
Metade desse semicírculo está carregada com carga Q = 9,84times10^-6,C e a outra metade com carga , onde
A pergunta é: qual a magnitude do campo elétrico no centro do semicírculo?
Conteúdo: Coulomb, densidade linear de carga, cálculo de campo por integração e simetria. Vamos precisar:
  1. escrever o campo como integral de ,
  2. parametrizar o semicírculo em ,
  3. usar densidade linear ,
  4. explorar a simetria para ver que só sobra componente horizontal.

Passo 2

Definindo coordenadas: o semicírculo fica no plano lambda+ = +Q(pi a)/2 = 2Qpi a, lambda- = -Q(pi a)/2 = -2Qpi a , de a , raio .
Escolho:
  • na ponta direita ,
  • na ponta esquerda .
    Metade do arco, digamos de a , tem carga ; de a tem .
    A densidade linear de carga em cada parte é

Passo 3

Campo elétrico no centro pela lei de Coulomb (cada pedacinho de carga dE = k,dqa^2,rdo e<=mento → centro em distância E = -ka^2integral er ,dq, ):
No centro, o vetor de cada elemento é radial (de centro para o elemento).
Mas como o campo de carga positiva aponta para o centro e de carga negativa sai do centro, podemos escrever de forma unificada:
onde aponta do centro ao elemento.
E .

Passo 4

Vamos decompor em Ey propto -ka^2l[lambda+!integral0^pi/2sintheta,a,dtheta +lambda-!integralpi/2^pisintheta,a,dthetar] e Ex = -ka^2,al[lambda+!integral0^pi/2costheta,dtheta +lambda-!integralpi/2^picostheta,dthetar] .
Com simetria, a componente Ex = -kal[lambda+cdot1 + lambda-cdot(-1)r] = -kal(lambda+ - lambda-r) = -kal(2Qpi a - l(-tfrac2Qpi ar)r) = -4kQpi a^2 some:
E = 4kQpi a^2
Mas e , e . Logo .
A componente dá:
Sabendo e ,
O sinal negativo indica que o campo aponta para a esquerda, mas a magnitude é

Passo 5

Bastaplug in:
k = 9times10^9, Q = 9,84times10^-6, a = 6,55times10^-2
Então
E = 4cdot9times10^9cdot9,84times10^-6pi,(6,55times10^-2)^2 approx 2,63times10^7 N/C

Resposta

A magnitude do campo elétrico no centro vale
boxed2,63times10^7 N/C

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