Um disco com
de raio possui uma densidade superficial de carga uniforme de
. Determine o módulo do campo elétrico no eixo do disco e a 5 cm de seu centro.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem um disco de raio
com densidade superficial de carga uniforme
e quer saber o módulo do campo elétrico no eixo desse disco, a uma distância
do centro.
Conteúdo envolvido: eletrostática (campo de distribuições de carga), mais especificamente o cálculo de campo no eixo de um disco carregado. Para resolver vamos usar:
1) Dividir o disco em anéis elementares.
2) Expressar o campo de cada anel e integrar.
3) Conhecer a constante
Passo 2
A ideia é pensar no disco como um monte de anéis concêntricos de largura
. Cada anel, de raio
, carrega uma carga infinitesimal
O campo elétrico produzido por esse anel, no ponto do eixo a distância
Aqui usamos:
- A expressão do campo de um elemento de carga
. - A projeção no eixo, que dá o fator
.
Passo 3
Agora integramos
de
até
:
Fazendo a integral (é um integral-padrão que dá diferença de inversos de raiz), obtemos a fórmula conhecida:
Passo 4
Bora calcular numericamente. Primeiro, converte tudo para SI:
- Calcula o fator dentro da raiz:
- O termo entre parênteses:
- O prefator
:
- Então
Resposta
O módulo do campo elétrico no eixo do disco, a 5 cm do centro, é