Um disco com 2,5 cm de raio possui uma densidade superficial de carga uniforme de 3,6 mu C / m^2. Determine o módulo do campo elétrico no eixo do disco e a 5 cm de seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem um disco de raio
a = 2,5 cm
com densidade superficial de carga uniforme
sigma = 3,6;muC/m^2
e quer saber o módulo do campo elétrico no eixo desse disco, a uma distância
x = 5 cm
do centro.
Conteúdo envolvido: eletrostática (campo de distribuições de carga), mais especificamente o cálculo de campo no eixo de um disco carregado. Para resolver vamos usar:
1) Dividir o disco em anéis elementares.
2) Expressar o campo de cada anel e integrar.
3) Conhecer a constante varepsilon0.

Passo 2

A ideia é pensar no disco como um monte de anéis concêntricos de largura dr. Cada anel, de raio r, carrega uma carga infinitesimal
dq = sigma,dA = sigma,(2pi r,dr),
O campo elétrico produzido por esse anel, no ponto do eixo a distância x do centro, aponta ao longo do eixo e tem módulo
dE = 14pivarepsilon0,dq;,xl(x^2 + r^2r)^3/2,
Aqui usamos:
  • A expressão do campo de um elemento de carga dq.
  • A projeção no eixo, que dá o fator costheta = x/raizx^2+r^2.

Passo 3

Agora integramos r de 0 até a:
E ;=;integral0^a dE ;=;integral0^a 14pivarepsilon0,sigma(2pi r),x(x^2+r^2)^3/2,dr ;=;sigma,x2varepsilon0integral0^ar,dr(x^2+r^2)^3/2,
Fazendo a integral (é um integral-padrão que dá diferença de inversos de raiz), obtemos a fórmula conhecida:
E(x) ;=;sigma2varepsilon0 gl(1 ;-;xraizx^2 + a^2gr),

Passo 4

Bora calcular numericamente. Primeiro, converte tudo para SI:
a = 0,025 m, x = 0,05 m, sigma = 3,6times10^-6,C/m^2, varepsilon0 = 8,85times10^-12,C^2/(Ncdotm^2)
  1. Calcula o fator dentro da raiz:
raizx^2 + a^2 = raiz(0,05)^2 + (0,025)^2 = raiz0,0025 + 0,000625 = raiz0,003125approx 0,0559,
  1. O termo entre parênteses:
1 - xraizx^2 + a^2 = 1 - 0,050,0559 approx 1 - 0,8944 = 0,1056,
  1. O prefator sigma/(2varepsilon0):
sigma2varepsilon0 = 3,6times10^-62,(8,85times10^-12) approx 3,6times10^-61,77times10^-11 approx 2,03times10^5;N/C,
  1. Então
E = 2,03times10^5 times 0,1056 approx 2,15times10^4;N/C,

Resposta

O módulo do campo elétrico no eixo do disco, a 5 cm do centro, é
boxedE approx 2,2times10^4;N/C

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