Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada da seguinte função:
f(x)=raizln (cos ^2 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=raizln(cos^2 x) usando a regra da cadeia. O conteúdo envolve derivadas de funções compostas, e vamos decompor a função em partes: a raiz quadrada, o logaritmo natural, a potência e o cosseno.

Passo 2

Definimos funções auxiliares para aplicar a regra da cadeia com clareza: seja u(x)=ln(cos^2 x) e v(x)=cos^2 x. Assim, podemos escrever f(x)=(u(x))^1/2.

Passo 3

Derivamos a parte externa. Como f(x)=(u)^1/2, temos tfracddu(u^1/2)=tfrac12raizu. Pela regra da cadeia,
f'(x)=12raizu(x)cdot u'(x)

Passo 4

Agora derivamos u(x)=ln(v(x)). Sabemos que tfracddv(ln v)=tfrac1v, logo
u'(x)=v'(x)v(x)

Passo 5

Em seguida, derivamos v(x)=cos^2 x. Aplicando potência e derivada do cosseno:
v'(x)=2cos xcdot(-sin x)=-2cos xsin x

Passo 6

Substituindo em f'(x) e simplificando:
f'(x)=12raizln(cos^2 x)cdot-2cos xsin xcos^2 x = -2cos xsin x2cos^2 xraizln(cos^2 x) = -sin xcos x1raizln(cos^2 x)

Passo 7

Reconhecendo tfracsin xcos x=tan x, obtemos o resultado final.

Resposta

-dfractan xraizln(cos^2 x)

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