Seja
. Encontre sua função de massa de probabilidade e sua função de distribuição acumulada.
Passo 1
O enunciado dá a variável aleatória
com distribuição binomial de parâmetros
e
, ou seja
.
As perguntas são: (1) encontrar a função de massa de probabilidade (PMF) de , e (2) encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) de
.
Informações relevantes dadas: ,
, o suporte de
é o conjunto de valores inteiros
.
As perguntas são: (1) encontrar a função de massa de probabilidade (PMF) de
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que usamos para a PMF de uma variável com esses parâmetros: para
,
Aqui
(lê-se “n escolhe k”) é o número de maneiras de escolher
sucessos em
ensaios independentes e é dado por
onde
(fatorial) é
.
No nosso caso e
. Vou calcular os coeficientes binomiais
necessários:
No nosso caso
(Ex.:
.)
Passo 3
Agora substituímos
na fórmula da PMF. Para qualquer
,
Note que
, por isso cada probabilidade será simplesmente
.
Passo 4
Calculemos as probabilidades numéricas para cada
:
Verificação rápida: somando as frações
, então as probabilidades estão consistentes.]
Passo 5
Agora vamos construir a função de distribuição acumulada
. Para uma variável discreta em inteiros, a CDF é uma função em escada que muda de valor apenas nos inteiros 0,1,2,3,4. Calculamos os acumulados:
Nos pontos inteiros
o valor da CDF é o mesmo que o acumulado até aquele inteiro (ex.:
).]
Passo 6
Resumo didático rápido para a prova: quando
com
pequeno, frequentemente
simplifica as probabilidades porque cada termo
tem o mesmo fator
. Para montar a CDF, some as probabilidades até o ponto desejado; a CDF será constante entre inteiros e pula nos inteiros onde há massa.