Seja X \sim \operatorname{Bin}(4,1 / 2). Encontre sua função de massa de probabilidade e sua função de distribuição acumulada.

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetros n=4 e p=1/2, ou seja X\sim\operatorname{Bin}(4,1/2).
As perguntas são: (1) encontrar a função de massa de probabilidade (PMF) de X, e (2) encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) de X.
Informações relevantes dadas: n=4, p=1/2, o suporte de X é o conjunto de valores inteiros \{0,1,2,3,4\}.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que usamos para a PMF de uma variável com esses parâmetros: para k\in\{0,1,\dots,n\},
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}.
Aqui \binom{n}{k} (lê-se “n escolhe k”) é o número de maneiras de escolher k sucessos em n ensaios independentes e é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.
No nosso caso n=4 e p=1/2. Vou calcular os coeficientes binomiais \binom{4}{k} necessários:
\binom{4}{0}=1,\qquad \binom{4}{1}=4,\qquad \binom{4}{2}=6,\qquad \binom{4}{3}=4,\qquad \binom{4}{4}=1.
(Ex.: \binom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!2!}=\dfrac{24}{2\cdot2}=6.)

Passo 3

Agora substituímos p=1/2 na fórmula da PMF. Para qualquer k\in\{0,1,2,3,4\},
P(X=k)=\binom{4}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4-k}=\binom{4}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}.
Note que \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4-k}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}=\tfrac{1}{16}, por isso cada probabilidade será simplesmente \binom{4}{k}/16.

Passo 4

Calculemos as probabilidades numéricas para cada k:
\begin{aligned} P(X=0)&=\dfrac{\binom{4}{0}}{16}=\dfrac{1}{16},\\[6pt] P(X=1)&=\dfrac{\binom{4}{1}}{16}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4},\\[6pt] P(X=2)&=\dfrac{\binom{4}{2}}{16}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8},\\[6pt] P(X=3)&=\dfrac{\binom{4}{3}}{16}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4},\\[6pt] P(X=4)&=\dfrac{\binom{4}{4}}{16}=\dfrac{1}{16}. \end{aligned}
Verificação rápida: somando as frações \tfrac{1}{16}+\tfrac{4}{16}+\tfrac{6}{16}+\tfrac{4}{16}+\tfrac{1}{16}=\tfrac{16}{16}=1, então as probabilidades estão consistentes.]

Passo 5

Agora vamos construir a função de distribuição acumulada F_X(x)=P(X\le x). Para uma variável discreta em inteiros, a CDF é uma função em escada que muda de valor apenas nos inteiros 0,1,2,3,4. Calculamos os acumulados:
\begin{aligned} F_X(x)&=0 &\text{para } x<0,\\[4pt] F_X(x)&=P(X\le 0)=P(X=0)=\tfrac{1}{16} &\text{para } 0\le x<1,\\[4pt] F_X(x)&=P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=\tfrac{1}{16}+\tfrac{4}{16}=\tfrac{5}{16} &\text{para } 1\le x<2,\\[4pt] F_X(x)&=P(X\le 2)=\tfrac{5}{16}+\tfrac{6}{16}=\tfrac{11}{16} &\text{para } 2\le x<3,\\[4pt] F_X(x)&=P(X\le 3)=\tfrac{11}{16}+\tfrac{4}{16}=\tfrac{15}{16} &\text{para } 3\le x<4,\\[4pt] F_X(x)&=P(X\le 4)=1 &\text{para } x\ge 4. \end{aligned}
Nos pontos inteiros x=0,1,2,3,4 o valor da CDF é o mesmo que o acumulado até aquele inteiro (ex.: F_X(2)=11/16).]

Passo 6

Resumo didático rápido para a prova: quando p=1/2 com n pequeno, frequentemente (1/2)^n simplifica as probabilidades porque cada termo p^k(1-p)^{n-k} tem o mesmo fator (1/2)^n. Para montar a CDF, some as probabilidades até o ponto desejado; a CDF será constante entre inteiros e pula nos inteiros onde há massa.

Resposta

P(X=k)=\begin{cases} \dfrac{\binom{4}{k}}{16}, & k\in\{0,1,2,3,4\},\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
F_X(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[6pt] \dfrac{1}{16}, & 0\le x<1,\\[6pt] \dfrac{5}{16}, & 1\le x<2,\\[6pt] \dfrac{11}{16}, & 2\le x<3,\\[6pt] \dfrac{15}{16}, & 3\le x<4,\\[6pt] 1, & x\ge 4. \end{cases}]

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