Sejam theta1, theta2, theta3, estimadores de um parâmetro theta. Suponha que E[theta1]=E[theta2]=theta, E[theta3] neq theta, Var[theta1]=12, Var[theta2]=10 e E[(theta3-theta)^2]=6. Compare estes estimadores. Qual deles você prefere na estimação de theta? Porque?

Passo 1

Beleza, manda bala no problema: temos três estimadores de um parâmetro θ, chamados .
Conteúdo: estimação pontual em Estatística – vamos mexer com viés, variância e MSE (erro quadrático médio).
O que precisamos:
  • Saber o que é estimador não enviesado (unbiased) e o que é viés (bias).
  • Calcular variância e MSE.
  • Comparar MSEs para decidir qual é “melhor” (menor erro).

Passo 2

Primeiro, lembrando os conceitos:
  1. Viés (bias) de um estimador Bias(hattheta) = E[hattheta] - theta é
Se , dizemos que é não enviesado. Caso contrário, é enviesado.
  1. Variância (Var) mede a dispersão de em torno da média .

Passo 3

O critério que usamos para comparar estimadores geralmente é o erro quadrático médio (MSE), definido por
MSE(hattheta) = El[(hattheta - theta)^2r]
A teoria mostra que
MSE(hattheta) = Var(hattheta) + l(Bias(hattheta)r)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o MSE de cada estimador:
  1. Para MSE(hattheta1) = 12 + 0^2 = 12 :
    • Dizem que MSE(hattheta2) = 10 + 0^2 = 10 , logo é não enviesado, MSE(hattheta3) = El[(hattheta3 - theta)^2r] = 6 .
    • .
    • Então
  2. Para :
    • Também não enviesado ( ), então .
    • .
    • Logo
  3. Para :
    • Ele é enviesado ( ) mas a gente já recebeu direto o MSE:

Passo 5

Agora é comparar:
O menor erro quadrático médio é o de .

Resposta

Prefiro o estimador , porque seu MSE é o menor (6), ou seja, ele tende a ficar mais perto de θ em média do que e .

Exercícios relacionados