Suponha que a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X seja como segue
f(x)= 2 x & if 0
Encontre a função de distribuição ( F(x ) ) de X .

Passo 1

Beleza, vamos primeiro resumir o que o exercício está pedindo e quais conhecimentos a gente vai usar.
Enunciado em miúdos: temos uma variável aleatória contínua f(x) = 2x, & 0 < x < 1, 0, & caso contrário cuja densidade de probabilidade é
F(x) = P(X <= x) = integral-infty^x f(t),dt á
Queremos encontrar a função de distribuição acumulada , que é basicamente a probabilidade de ser menor ou igual a um certo valor .
Conteúdo envolvido:
  • Conceito de função densidade de probabilidade (pdf).
  • Definição de função de distribuição acumulada (cdf):
  • Noções básicas de integração de funções simples.

Passo 2

Primeiro, lembra que a cdf Se x <= 0, F(x) = integral-infty^x f(t),dt = 0 fica zerada para valores muito pequenos de . Como a pdf é zero para , a gente já sabe:
Não tem como a variável assumir valor menor ou igual a zero, já que a densidade só “vive” entre 0 e 1.

Passo 3

Agora, para F(x) = integral-infty^x f(t),dt = integral0^x 2t ,dt, , a gente integra a pdf de 0 até :
porque para o é 0 e não contribui.

Passo 4

Calculando essa integral:
integral0^x 2t ,dt = 2 integral0^x t ,dt = 2 [t^22]0^x = 2 cdot x^22 - 0 = x^2
Então, para , dá .

Passo 5

Por fim, para Se x >= 1, F(x) = integral-infty^x f(t),dt = 1 , como toda a massa de probabilidade está no intervalo , a probabilidade acumulada chega a 1:

Resposta

A função de distribuição acumulada F(x) = 0, & x <= 0,[6pt] x^2, & 0 < x < 1,[6pt] 1, & x >= 1 é

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