Suponha que a função de distribuição de uma variável aleatória X seja como segue:
F(x)= e^x-3 & for x <= 3 1 & for x>3
Encontre a função densidade de probabilidade de X .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a função de distribuição (CDF) de uma variável aleatória X é
F(x)= e^,x-3, & x <= 3, 1, & x>3
O que a gente quer é a função densidade de probabilidade (PDF) f(x)=ddxF(x), . O conteúdo aqui é “variável aleatória contínua” e o que precisamos usar é a definição de PDF em termos da derivada da CDF:
sempre que for diferenciável.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se tem salto em , porque salto indicaria probabilidade discreta.
  • Quando se aproxima de 3 pela esquerda, .
  • Para , sempre, então .
    Como , não há salto em . Logo X é puramente contínua e não teremos massa pontual.

Passo 3

Agora derivamos a CDF em cada região onde ela muda de expressão:
  1. Para ddxe^,x-3 = e^,x-3cdot 1 = e^,x-3 , ddx1 = 0 .
    • A regra é: se , então .
    • Aqui , logo
  2. Para , é constante, então a derivada é zero:

Resposta

f(x)= e^,x-3, & x<= 3, 0, & x>3
Pronto! Esse é o PDF de .

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