Suponha que a função de distribuição de uma variável aleatória X seja como segue:
Encontre a função densidade de probabilidade de X .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a função de distribuição (CDF) de uma variável aleatória X é
O que a gente quer é a função densidade de probabilidade (PDF)
. O conteúdo aqui é “variável aleatória contínua” e o que precisamos usar é a definição de PDF em termos da derivada da CDF:
sempre que
for diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se tem salto em
, porque salto indicaria probabilidade discreta.
- Quando
se aproxima de 3 pela esquerda, . - Para
, sempre, então .
Como, não há salto em . Logo X é puramente contínua e não teremos massa pontual.
Passo 3
Agora derivamos a CDF em cada região onde ela muda de expressão:
- Para
, . - A regra é: se
, então . - Aqui
, logo
- A regra é: se
- Para
, é constante, então a derivada é zero:
Resposta
Pronto! Esse é o PDF de
.