Suponha que a função f seja contínua em (0, infty) e que sua derivada f^prime seja de ordem exponencial. Integre a desigualdade
-C e^alpha x <= f^prime(x) <= C e^alpha x
para deduzir que f é de ordem exponencial.

Passo 1

Temos a função f contínua em (0,∞) e sabemos que f′ é de ordem exponencial, ou seja, existem constantes C>0 e α>0 tais que para todo x>0 vale
[-C e^{\alpha x} \le f′(x) \le C e^{\alpha x}.
Aqui o conteúdo é função de ordem exponencial e vamos integrar essa desigualdade para deduzir que f também é de ordem exponencial.

Passo 2

Escolhemos um ponto x₀>0 fixo e integramos a desigualdade de x₀ até x (com x≥x₀). Pelo teorema fundamental do cálculo:
integralx₀^x -C e^alpha t ,dt <= integralx₀^x f(t) ,dt <= integralx₀^x C e^alpha t ,dt
Calculando as integrais exponenciais obtemos
-Calphal(e^alpha x-e^alpha x₀r) <= f(x)-f(x₀) <= Calphal(e^alpha x-e^alpha x₀r)

Passo 3

Reorganizando para obter um valor absoluto, aplicamos desigualdade triangular:
|f(x)| <= |f(x₀)| + Calphal(e^alpha x-e^alpha x₀r)
Agora, note que para x≥x₀ temos as constantes |f(x₀)| e C/α·e^{αx₀} independentes de x. Escrevemos cada uma dessas constantes como um múltiplo de e^{αx} usando que e{-αx₀}e{αx}≥1. Assim existe M>0 tal que
|f(x)| <= M e^alpha x

Passo 4

Concluímos que f é de ordem exponencial: existem constantes M>0 e α>0 tais que para todo x suficientemente grande vale |f(x)|≤M e^{α x}, como queríamos.

Resposta

f é de ordem exponencial com expoente α, pois encontramos M>0 tal que |f(x)|≤M e^{α x} para todo x≥x₀.

Exercícios relacionados