Suponha que a função
seja contínua em
e que sua derivada
seja de ordem exponencial. Integre a desigualdade
para deduzir que
é de ordem exponencial.
Passo 1
Temos a função f contínua em (0,∞) e sabemos que f′ é de ordem exponencial, ou seja, existem constantes C>0 e α>0 tais que para todo x>0 vale
[-C e^{\alpha x} \le f′(x) \le C e^{\alpha x}.
Aqui o conteúdo é função de ordem exponencial e vamos integrar essa desigualdade para deduzir que f também é de ordem exponencial.
Aqui o conteúdo é função de ordem exponencial e vamos integrar essa desigualdade para deduzir que f também é de ordem exponencial.
Passo 2
Escolhemos um ponto x₀>0 fixo e integramos a desigualdade de x₀ até x (com x≥x₀). Pelo teorema fundamental do cálculo:
Calculando as integrais exponenciais obtemos
Passo 3
Reorganizando para obter um valor absoluto, aplicamos desigualdade triangular:
Agora, note que para x≥x₀ temos as constantes |f(x₀)| e C/α·e^{αx₀} independentes de x. Escrevemos cada uma dessas constantes como um múltiplo de e^{αx} usando que e{-αx₀}e{αx}≥1. Assim existe M>0 tal que
Passo 4
Concluímos que f é de ordem exponencial: existem constantes M>0 e α>0 tais que para todo x suficientemente grande vale |f(x)|≤M e^{α x}, como queríamos.
Resposta
f é de ordem exponencial com expoente α, pois encontramos M>0 tal que |f(x)|≤M e^{α x} para todo x≥x₀.