Utilizando a definição da função gamma
Gamma(x):=integral0^+infty e^-t t^x-1 d t
e suas propriedades determine
Gamma(32), Gamma(112) e Gamma(2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular Gammal(tfrac32r), Gammal(tfrac112r) e Gamma(2) usando a definição da função Gamma e suas propriedades. O conteúdo envolve a definição integral da função Gamma e, principalmente, a relação de recorrência e o valor especial em meio-inteiro.

Passo 2

A definição da função Gamma é dada por:
Gamma(x):=integral0^+inftye^-tt^x-1dt
Duas propriedades fundamentais que vamos usar são:
1) Relação de recorrência: Gamma(x+1)=x,Gamma(x).
2) Valor especial: Gammal(tfrac12r)=raizpi.

Passo 3

Para calcular Gamma(2), aplicamos a relação de recorrência com x=1:
Gamma(2)=1cdotGamma(1)
Como Gamma(1)=0!=1, concluímos que
Gamma(2)=1

Passo 4

Para Gammal(tfrac32r), usamos a relação de recorrência com x=tfrac12:
Gammal(tfrac32r)=tfrac12,Gammal(tfrac12r)
Substituindo Gamma(tfrac12)=raizpi, obtemos
Gammal(tfrac32r)=tfrac12raizpi

Passo 5

Para Gammal(tfrac112r), aplicamos a relação de recorrência sucessivamente desde x=tfrac12 até x=tfrac112. Em forma de produto:
Gammal(tfrac112r)=l(tfrac92r)l(tfrac72r)l(tfrac52r)l(tfrac32r)l(tfrac12r)Gammal(tfrac12r)
Juntando os fatores e lembrando que Gamma(tfrac12)=raizpi, temos
Gammal(tfrac112r)=9cdot7cdot5cdot3cdot12^5raizpi=94532raizpi

Resposta

Gamma(2)=1, Gammal(tfrac32r)=tfrac12raizpi, Gammal(tfrac112r)=tfrac94532raizpi.

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