Questão 1 (2,0 pontos)

Dada a EDOLÑH
y^prime prime-10 y^prime+25 y=2 e^5 xx^2
(a) Determine a solução geral da EDOLH associada.
(b) Determine uma solução particular da EDOLÑH por variação de parâmetros.
(c) Qual é a solução geral da EDOLÑH?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 10y' + 25y = 2e^5xx^2,
pede (a) a solução geral da homogênea associada, (b) uma solução particular por variação de parâmetros e (c) a solução geral da não homogênea. Vamos usar: solução da homogênea via equação característica e particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Consideramos a homogênea
y'' - 10y' + 25y = 0
A equação característica é
r^2 - 10r + 25 = 0
com discriminante De<a = 100 - 100 = 0, raiz dupla r=5. Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^5x + C2,x,e^5x

Passo 3

Para variação de parâmetros tomamos como base fundamental
y1 = e^5x, y2 = x,e^5x
O Wronskiano é
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^5xl(e^5x+5x,e^5xr)-5e^5xcdot x,e^5x = e^10x
A função não homogênea é g(x)=2e^5x/x^2. As fórmulas dão
u1' = -g(x),y2W = -2e^5x/x^2cdot x e^5xe^10x = -2x,
u2' = g(x),y1W = 2e^5x/x^2cdot e^5xe^10x = 2x^2

Passo 4

Integramos para achar u1 e u2:
u1 = integral u1',dx = integral -2x,dx = -2ln|x|,
u2 = integral u2',dx = integral 2x^2,dx = -2x
A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = -2ln|x|;e^5x ;+; l(-tfrac2xr);(x,e^5x) = -2e^5xl(ln|x|+1r)

Passo 5

A solução geral da não homogênea é
y = yh + yp = C1 e^5x + C2,x,e^5x ;-; 2e^5xl(ln|x|+1r)

Resposta

(a) yh = C1 e^5x + C2,x,e^5x
(b) yp = -2e^5xl(ln|x|+1r)
(c) y = C1 e^5x + C2,x,e^5x - 2e^5xl(ln|x|+1r)

Exercícios relacionados