A taxa percentual de ocupação do Hotel Wonderland, que possui apenas suítes, localizado perto de um parque de diversões, é dada pela função
p(t)=58 t^3-5 t^2+3 t+54,0 <= t <= 12
onde t é medido em meses, com t=0 correspondendo ao início de janeiro. A direção do hotel estimou que a receita mensal (em milhares de dólares) é aproximada pela função
R(p)=p^3-5 p^2, 0 <= p <= 100
onde p é a taxa ocupação em termos percentuais percentuais.
Se a margem líquida é dada em termos da taxa de ocupação p como
M(p)=p^2-20p^54+1, 0 <= p <= 100
Qual é o lucro líquido no fim de fevereiro? E no início de setembro?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos uma função que nos dá a taxa de ocupação do Hotel Wonderland em função do tempo (meses), chamada , válida de (início de janeiro) até (início de janeiro do ano seguinte). Além disso, temos a função da margem líquida , que nos dá o lucro líquido em relação à taxa de ocupação . Nosso objetivo é encontrar o lucro líquido no fim de fevereiro e no início de setembro. Precisaremos calcular primeiro a taxa de ocupação nesses meses e depois aplicar a função da margem líquida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de correspondentes ao fim de fevereiro e ao início de setembro. Como é o início de janeiro:
  • Fim de fevereiro corresponde a meses.
  • Início de setembro corresponde a meses.

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa de ocupação p(2) = 58 (2)^3 - 5 (2)^2 + 3 (2) + 54 para p(2) = 58 times 8 - 5 times 4 + 6 + 54 e p(2) = 5 - 20 + 6 + 54 = 45 .
Para p(8) = 58 (8)^3 - 5 (8)^2 + 3 (8) + 54 :
p(8) = 58 times 512 - 5 times 64 + 24 + 54
p(8) = 320 - 320 + 24 + 54 = 78
Para :

Passo 4

Agora que temos as taxas de ocupação para os meses desejados, vamos usar a função da margem líquida M(45) = 45^2 - 2045^54 + 1 para encontrar o lucro líquido.
Para fim de fevereiro ( 45^54 = e^54 ln 45 approx e^54 times 3.80666 approx e^4.7583 approx 117.137 ):
M(45) = 2025 - 20117.137 + 1 = 2005118.137 approx 16.96 mil dólares
Primeiro, calculamos M(78) = 78^2 - 2078^54 + 1 e 78^54 = e^54 ln 78 approx e^54 times 4.3567 approx e^5.196 approx 180.0 .
Calculando M(78) = 6084 - 20180 + 1 = 6064181 approx 33.51 mil dólares :
Então:
ó
Para início de setembro ( ):
Calculamos e .
Calculando :
Então:
ó

Resposta

O lucro líquido no fim de fevereiro é aproximadamente 16,96 mil dólares e no início de setembro é aproximadamente 33,51 mil dólares.

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