Decida se a função dada abaixo é diferenciável no ponto
,
.
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se a função é diferenciável no ponto
Informações importantes que o enunciado dá:
- O valor de
vem da primeira parte, porque essa parte vale em
. - Para
a função é a segunda expressão . - Preciso decidir se existe a derivada de
em .]
Passo 2
Primeiro uma aula rápida e prática sobre o que significa "diferenciável em
":
- Definição (útil na prova):
é diferenciável em se existir o limite
Se esse limite existe (finito), chamamos de
.
- Observação importante (fato usado com frequência): se
é diferenciável em então é contínua em . Portanto, uma maneira rápida de mostrar que não é diferenciável é mostrar que não é contínua em . - Continuidade em
exige que os limites laterais e o valor coincidam:
Vou primeiro checar continuidade em
. Se a função não for contínua ali, já posso concluir que não é diferenciável.
Passo 3
Calcular
(valor da função em
, usando a primeira parte porque ela vale em
):
Passo 4
Calcular o limite pela direita,
. Para
a função é
, então substituo
:
Comparando com
obtido no Passo 3, tenho
Como
, concluímos que
é diferente do limite pela direita. Portanto a função não é contínua em
.
Passo 5
Concluir sobre diferenciabilidade a partir da não continuidade. Pelo fato conhecido (explicado no Passo 2), diferenciabilidade implica continuidade. Assim, se
não é contínua em
, então
não pode ser diferenciável em
. Logo a função não é diferenciável em
.
Observação adicional (útil para entender o que ocorre com as derivadas laterais): a derivada da parte esquerda (para
) pode ser calculada pela regra:
e avaliando em
dá
. Já a tentativa de calcular a derivada pela direita usando a definição mostra problema porque o valor de
não coincide com os valores da expressão à direita; de fato, usando
,
que não tem limite finito quando
(o termo
diverge). Isso confirma que não existe derivada pela direita e reforça a conclusão: não é diferenciável.
Resposta
Não,
não é diferenciável em
.