Decida se a função dada abaixo é diferenciável no ponto x_{0}=2,
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3-x+\ln (x+1), & 0 \leq x \leq 2 \\\ x^{2}-4 x+5 & x>2\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede que eu decida se a função é diferenciável no ponto x_{0}=2\). A função é dada por partes: \[f(x)=\begin{cases} 3-x+\ln(x+1), & 0\le x\le 2,\\[4pt] x^{2}-4x+5, & x>2. \end{cases}
Informações importantes que o enunciado dá:
  • O valor de f\] em \(x=2 vem da primeira parte, porque essa parte vale em 0\le x\le2.
  • Para x>2 a função é a segunda expressão x^{2}-4x+5.
  • Preciso decidir se existe a derivada de f em x_{0}=2.]

Passo 2

Primeiro uma aula rápida e prática sobre o que significa "diferenciável em x_{0}":
  • Definição (útil na prova): f é diferenciável em a se existir o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Se esse limite existe (finito), chamamos de f'(a).
  • Observação importante (fato usado com frequência): se f é diferenciável em a então f é contínua em a. Portanto, uma maneira rápida de mostrar que f não é diferenciável é mostrar que não é contínua em a.
  • Continuidade em a exige que os limites laterais e o valor coincidam:
\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a).
Vou primeiro checar continuidade em x_{0}=2. Se a função não for contínua ali, já posso concluir que não é diferenciável.

Passo 3

Calcular f(2) (valor da função em x=2, usando a primeira parte porque ela vale em x=2):
f(2)=3-2+\ln(2+1)=1+\ln 3.

Passo 4

Calcular o limite pela direita, \lim_{x\to2^{+}}f(x). Para x>2 a função é x^{2}-4x+5, então substituo x=2:
\lim_{x\to2^{+}}f(x)=\lim_{x\to2^{+}}\bigl(x^{2}-4x+5\bigr)=2^{2}-4\cdot2+5=4-8+5=1.
Comparando com f(2) obtido no Passo 3, tenho
f(2)=1+\ln 3\quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^{+}}f(x)=1.
Como \ln 3\neq 0, concluímos que f(2) é diferente do limite pela direita. Portanto a função não é contínua em x=2.

Passo 5

Concluir sobre diferenciabilidade a partir da não continuidade. Pelo fato conhecido (explicado no Passo 2), diferenciabilidade implica continuidade. Assim, se f não é contínua em 2, então f não pode ser diferenciável em 2. Logo a função não é diferenciável em x_{0}=2.
Observação adicional (útil para entender o que ocorre com as derivadas laterais): a derivada da parte esquerda (para x<2) pode ser calculada pela regra:
\frac{d}{dx}\bigl(3-x+\ln(x+1)\bigr)=-1+\frac{1}{x+1},
e avaliando em x=2 -1+\tfrac{1}{3}=-\tfrac{2}{3}. Já a tentativa de calcular a derivada pela direita usando a definição mostra problema porque o valor de f(2) não coincide com os valores da expressão à direita; de fato, usando h>0,
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\bigl((2+h)^{2}-4(2+h)+5\bigr)-(1+\ln3)}{h} =\frac{h^{2}-\ln3}{h}=h-\frac{\ln3}{h},
que não tem limite finito quando h\to0^{+} (o termo -\tfrac{\ln3}{h} diverge). Isso confirma que não existe derivada pela direita e reforça a conclusão: não é diferenciável.

Resposta

Não, f não é diferenciável em x_{0}=2.

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