Use a notação de somatório para escrever a série de Taylor em torno de
para a função dada.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=ln x em torno de x₀=e usando notação de somatório. O conteúdo aqui é séries de Taylor, e vamos precisar da fórmula geral da série
e das derivadas de ln x.
Passo 2
Calcular as derivadas gerais de f(x)=ln x. Temos
Passo 3
Avaliar essas derivadas em x=e. Para n≥1:
$$f{(n)}(e)=(-1){n-1}\frac{(n-1)!}{e^n}.
$$O coeficiente geral da série é
$$a_n=\frac{f^{(n)}(e)}{n!}=rac{(-1){n-1}(n-1)!}{en,n!}=rac{(-1){n-1}}{n,en}.
$$
Passo 4
Montar a série em notação de somatório. O termo n=0 é f(e)=ln e=1, e para n≥1 usamos a_n. Assim: