Use a notação de somatório para escrever a série de Taylor em torno de x=x0 para a função dada.
ln x ; x0=e

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=ln x em torno de x₀=e usando notação de somatório. O conteúdo aqui é séries de Taylor, e vamos precisar da fórmula geral da série
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x₀)n!(x-x₀)^n
e das derivadas de ln x.

Passo 2

Calcular as derivadas gerais de f(x)=ln x. Temos
f'(x)=1x, f''(x)=-1x^2, f^(n)(x)=(-1)^n-1(n-1)!x^n(n>=1)

Passo 3

Avaliar essas derivadas em x=e. Para n≥1:
$$f{(n)}(e)=(-1){n-1}\frac{(n-1)!}{e^n}.
$$O coeficiente geral da série é
$$a_n=\frac{f^{(n)}(e)}{n!}= rac{(-1){n-1}(n-1)!}{en,n!}= rac{(-1){n-1}}{n,en}.
$$

Passo 4

Montar a série em notação de somatório. O termo n=0 é f(e)=ln e=1, e para n≥1 usamos a_n. Assim:
ln x=f(e)+sumn=1^inftyan(x-e)^n =1+sumn=1^infty(-1)^n-1n,e^n(x-e)^n

Resposta

ln x = 1 + sumn=1^infty (-1)^n-1n,e^n,(x-e)^n

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