Aplicações da Transformada de Laplace na solução das EDOs.
Resolver
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Passo 1
Então, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - 3y’ + 2y = 4t + 12 e^{-t} $ com as condições iniciais $ y(0) = 6 $ e $ y’(0) = -1 $. Aqui estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que transforma a equação no domínio $ s $, facilitando a solução. Precisaremos conhecer as propriedades da Transformada de Laplace e como aplicá-las a derivadas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que:
Aplicando isso na equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão:
Juntando os termos de $ Y(s) $ e os constantes:
Isolando $ Y(s) $:
Portanto:
Passo 4
Vamos simplificar $ Y(s) $ dividindo cada termo:
Agora, para achar $ y(t) $, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de cada termo. Isso geralmente envolve decomposição em frações parciais.
Passo 5
Vamos decompor cada fração:
- Para $ \frac{6s - 19}{(s - 1)(s - 2)} $, encontramos coeficientes $ A $ e $ B $ tais que:
Resolvendo, encontramos $ A = -13 $ e $ B = 19 $.
- Para $ \frac{4}{s^2 (s - 1)(s - 2)} $, a decomposição fica mais complexa, mas após calcular, obtemos:
- Para $ \frac{12}{(s + 1)(s - 1)(s - 2)} $, também decompomos:
Passo 6
Agora, juntamos todas as frações parciais:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 7
Por fim, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: