Aplicações da Transformada de Laplace na solução das EDOs.
Resolver y^prime prime-3 y^prime+2 y=4 t+12 e^-t, y(0)=6, y^prime(0)=-1

Passo 1

Então, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - 3y’ + 2y = 4t + 12 e^{-t} $ com as condições iniciais $ y(0) = 6 $ e $ y’(0) = -1 $. Aqui estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que transforma a equação no domínio $ s $, facilitando a solução. Precisaremos conhecer as propriedades da Transformada de Laplace e como aplicá-las a derivadas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Aplicando isso na equação:
Ly'' - 3Ly' + 2Ly = L4t + L12 e^-t
Substituindo as transformadas:
(s^2 Y(s) - 6s + 1) - 3(s Y(s) - 6) + 2Y(s) = 4s^2 + 12s + 1

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão:
s^2 Y(s) - 6s + 1 - 3s Y(s) + 18 + 2Y(s) = 4s^2 + 12s + 1
Juntando os termos de $ Y(s) $ e os constantes:
Y(s)
Isolando $ Y(s) $:
(s^2 - 3s + 2) Y(s) + (-6s + 19) = 4s^2 + 12s + 1
Portanto:
Y(s)

Passo 4

Vamos simplificar $ Y(s) $ dividindo cada termo:
Y(s)
Agora, para achar $ y(t) $, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de cada termo. Isso geralmente envolve decomposição em frações parciais.

Passo 5

Vamos decompor cada fração:
  1. Para $ \frac{6s - 19}{(s - 1)(s - 2)} $, encontramos coeficientes $ A $ e $ B $ tais que:
6s - 19(s - 1)(s - 2)
Resolvendo, encontramos $ A = -13 $ e $ B = 19 $.
  1. Para $ \frac{4}{s^2 (s - 1)(s - 2)} $, a decomposição fica mais complexa, mas após calcular, obtemos:
A
  1. Para $ \frac{12}{(s + 1)(s - 1)(s - 2)} $, também decompomos:
B

Passo 6

Agora, juntamos todas as frações parciais:
Y(s) = ( -13s - 1 + 19s - 2 ) + ( -2s + 2s^2 + 2s - 1 - 2s - 2 ) + ( 4s + 1 + -6s - 1 + 2s - 2 )
Simplificando:
Y(s) = -13 + 2 - 6s - 1 + 19 - 2 + 2s - 2 + -2s + 2s^2 + 4s + 1
Ou seja:
Y(s) = -17s - 1 + 19s - 2 - 2s + 2s^2 + 4s + 1

Passo 7

Por fim, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
y(t) = -17 e^t + 19 e^2t - 2 + 2t + 4 e^-t
Simplificando:
y(t) = 19 e^2t - 17 e^t + 4 e^-t + 2t - 2

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 19 e^2t - 17 e^t + 4 e^-t + 2t - 2

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