Suponha que satisfaz para todo . Calcule e . É possível dizer alguma coisa sobre ?
Passo 1
O enunciado afirma que satisfaz
para todo . Queremos calcular ,
e verificar o que se pode dizer sobre .
O conteúdo principal será o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).
Passo 2
Para note que, para ,
Como |x|^3to0 quando xto0, pelo Teorema do Confronto segue
limxto0g(x)x=0
Passo 3
Para limxto0g(x)x^3 fazemos análise análoga:
lvert g(x)x^3rvert =|g(x)||x|^3 <=x^4|x|^3 =|x|
Como |x|to0 quando xto0, pelo Teorema do Confronto segue
limxto0g(x)x^3=0
Passo 4
Para limxto0g(x)x^4 só sabemos que
lvert g(x)x^4rvert =|g(x)|x^4 <=1,
ou seja, a expressão está apenas limitada em [-1,1]. Mas não há informação suficiente para garantir que esse quociente convirja a um valor específico quando xto0. De fato, exemplos como
g(x)=x^4 dão g(x)x^4=1,
g(x)=0 dão g(x)x^4=0,
portanto o limite pode não existir ou depender de como g se comporta.
Resposta
limxto0g(x)x=0 limxto0g(x)x^3=0
Para limxto0g(x)x^4 só se conclui que o quociente é bounded em [-1,1], mas não há dados que garantam existência ou valor do limite.