Suponha que g: R R satisfaz |g(x)| <= x^4 para todo x in R. Calcule lim x 0 g(x)x e lim x 0 g(x)x^3. É possível dizer alguma coisa sobre lim x 0 g(x)x^4 ?

Passo 1

O enunciado afirma que gcolon RtoR satisfaz
|g(x)|<= x^4
para todo x. Queremos calcular
limxto0g(x)x,
limxto0g(x)x^3
e verificar o que se pode dizer sobre
limxto0g(x)x^4.
O conteúdo principal será o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).

Passo 2

Para limxto0g(x)x note que, para xneq0,
lvert g(x)xrvert =|g(x)||x| <=x^4|x| =|x|^3
Como |x|^3to0 quando xto0, pelo Teorema do Confronto segue
limxto0g(x)x=0

Passo 3

Para limxto0g(x)x^3 fazemos análise análoga:
lvert g(x)x^3rvert =|g(x)||x|^3 <=x^4|x|^3 =|x|
Como |x|to0 quando xto0, pelo Teorema do Confronto segue
limxto0g(x)x^3=0

Passo 4

Para limxto0g(x)x^4 só sabemos que
lvert g(x)x^4rvert =|g(x)|x^4 <=1,
ou seja, a expressão está apenas limitada em [-1,1]. Mas não há informação suficiente para garantir que esse quociente convirja a um valor específico quando xto0. De fato, exemplos como
  • g(x)=x^4 dão g(x)x^4=1,
  • g(x)=0 dão g(x)x^4=0,
    portanto o limite pode não existir ou depender de como g se comporta.

Resposta

limxto0g(x)x=0
limxto0g(x)x^3=0
Para limxto0g(x)x^4 só se conclui que o quociente é bounded em [-1,1], mas não há dados que garantam existência ou valor do limite.

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