Questão 2. Resolva as integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral definida de 0 a 1 da função $ x \sqrt{x} + x^{3} $. Estamos trabalhando com o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais definidas. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de integração de funções polinomiais para encontrar a área sob a curva entre os pontos 0 e 1.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que $ \sqrt{x} $ é o mesmo que $ x^{1/2} $. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra de integração para uma função polinomial $ x^{n} $ é:
onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com $ C $.
Passo 4
Aplicando a regra de integração aos nossos termos:
Passo 5
Agora, vamos avaliar cada antiderivada nos limites de 0 a 1:
Para $ \frac{2}{5} x^{5/2} $:
Para $ \frac{1}{4} x^{4} $:
Passo 6
Somando os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral é $ \frac{13}{20} $.