Questão 2. Resolva as integrais:
integral0^1 x raizx+x^3 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida de 0 a 1 da função $ x \sqrt{x} + x^{3} $. Estamos trabalhando com o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais definidas. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de integração de funções polinomiais para encontrar a área sob a curva entre os pontos 0 e 1.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que $ \sqrt{x} $ é o mesmo que $ x^{1/2} $. Então, temos:
raizx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra de integração para uma função polinomial $ x^{n} $ é:
x^n
onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com $ C $.

Passo 4

Aplicando a regra de integração aos nossos termos:
integral0^1 x^3/2 dx = 25 x^5/2 |0^1
integral0^1 x^3 dx = 14 x^4 |0^1

Passo 5

Agora, vamos avaliar cada antiderivada nos limites de 0 a 1:
Para $ \frac{2}{5} x^{5/2} $:
25 x^5/2
Para $ \frac{1}{4} x^{4} $:
25 (1)^5/2 - 25 (0)^5/2 = 25 - 0 = 25

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais:
25 + 14 = 820 + 520 = 1320

Resposta

O valor da integral é $ \frac{13}{20} $.

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