Seja
definida por
.
a)
?
b)
?
c)
?
d) Determine uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem de
.
e)
é injetora?
é sobrejetora?
a)
b)
c)
d) Determine uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem de
e)
Passo 1
O enunciado define
por
– Verificar se
pertence a
.
– Verificar se e
pertencem a
.
– Determinar base e dimensão do núcleo e da imagem de .
– Dizer se é injetora e/ou sobrejetora.
– Verificar se
– Determinar base e dimensão do núcleo e da imagem de
– Dizer se
Passo 2
Para checar
, calculamos
com
,
,
. Logo
o que mostra
.
Passo 3
Para ver se
está na imagem, note que todo polinômio em
tem coeficiente de
igual a zero. Como em
esse coeficiente é
, concluímos que
.
Passo 4
Para
procuramos
tais que
Por exemplo, tomando
obtemos
e
, de modo que
logo
.
Passo 5
Para achar o núcleo, resolvemos
Daqui
e
, então
com
. A imagem é
com
.
Passo 6
Como
,
não é injetora. Como
não contém termos em
,
também não é sobrejetora em
.
Resposta
a) Sim,
.
b) Não, .
c) Sim, .
d)
– Base de :
,
.
– Base de :
,
.
e) não é injetora e não é sobrejetora.
b) Não,
c) Sim,
d)
– Base de
– Base de
e)