Seja T: P2(x) P2(x) definida por T(a x^2+b x+c)=(a+2 b) x+(b+c).
a) p(x)=-4 x^2+2 x-2 in N(T) ?
b) q(x)=x^2+2 x+1 in Im(T) ?
c) r(x)=2 x+1 in Im(T) ?
d) Determine uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem de T.
e) T é injetora? T é sobrejetora?

Passo 1

O enunciado define T: P2(x)toP2(x) por
Tl(a x^2+b x+cr)=(a+2b)x+(b+c). Precisamos:
– Verificar se p(x)=-4x^2+2x-2 pertence a N(T).
– Verificar se q(x)=x^2+2x+1 e r(x)=2x+1 pertencem a Im(T).
– Determinar base e dimensão do núcleo e da imagem de T.
– Dizer se T é injetora e/ou sobrejetora.

Passo 2

Para checar pin N(T), calculamos
Tl(-4x^2+2x-2r) =(a+2b)x+(b+c)
com a=-4, b=2, c=-2. Logo
T(p)=(-4+2cdot2)x+(2-2)=0cdot x+0=0,
o que mostra pin N(T).

Passo 3

Para ver se q(x)=x^2+2x+1 está na imagem, note que todo polinômio em Im(T) tem coeficiente de x^2 igual a zero. Como em q esse coeficiente é 1neq0, concluímos que qnotinIm(T).

Passo 4

Para r(x)=2x+1 procuramos a,b,c tais que
a+2b=2, b+c=1
Por exemplo, tomando b=0 obtemos a=2 e c=1, de modo que
Tl(2x^2+0cdot x+1r)=2x+1,
logo rinIm(T).

Passo 5

Para achar o núcleo, resolvemos
Tl(a x^2+b x+cr)=0implies a+2b=0, b+c=0
Daqui a=-2b e c=-b, então
ker(T)=,b(-2x^2+x-1)mid binR =span-2x^2+x-1,
com dim N(T)=1. A imagem é
Im(T)=dx+emid d,einR =spanx,1,
com dimIm(T)=2.

Passo 6

Como dim N(T)=1>0, T não é injetora. Como Im(T) não contém termos em x^2, T também não é sobrejetora em P2(x).

Resposta

a) Sim, p(x)in N(T).
b) Não, q(x)notinIm(T).
c) Sim, r(x)inIm(T).
d)
– Base de ker(T): -2x^2+x-1, dim N(T)=1.
– Base de Im(T): x,1, dimIm(T)=2.
e) T não é injetora e não é sobrejetora.

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