Suponha que
\int_{0}^{1} f(x) d x=3
Determine
\int_{-1}^{0} f(x) d x
se (a) f é ímpar, (b) f é par.

Passo 1

O enunciado fornece a informação
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = 3,
e pede para determinar o valor de
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx
em dois casos distintos:
(a) quando f é ímpar (isto é, f(-x)=-f(x) para todo x);
(b) quando f é par (isto é, f(-x)=f(x) para todo x).

Passo 2

Vamos usar uma mudança de variável simples para transformar a integral no intervalo [-1,0] em uma integral sobre [0,1]. Tomamos a substituição
x = -t.
Então dx = -dt. Quando x=-1 temos t=1 e quando x=0 temos t=0. Assim, usando a regra de substituição em integrais definidas,
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = \int_{t=1}^{t=0} f(-t)\,(-dt) = \int_{0}^{1} f(-t)\,dt.
Portanto sempre vale a identidade útil
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} f(-t)\,dt.
A partir daqui só precisamos usar a propriedade de paridade de f para substituir f(-t).

Passo 3

Caso (a): f é ímpar. Então por definição
f(-t) = -f(t)\quad\text{para todo }t.
Substituindo na expressão obtida no passo anterior:
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} f(-t)\,dt = \int_{0}^{1} \bigl(-f(t)\bigr)\,dt = -\int_{0}^{1} f(t)\,dt.
Como o enunciado dá \int_{0}^{1} f(t)\,dt = 3, concluímos
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = -3.

Passo 4

Caso (b): f é par. Então por definição
f(-t) = f(t)\quad\text{para todo }t.
Usando novamente a identidade do passo 2:
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} f(-t)\,dt = \int_{0}^{1} f(t)\,dt.
Pelo dado \int_{0}^{1} f(t)\,dt = 3, obtemos
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = 3.

Passo 5

Intuição rápida: para funções ímpares os gráficos são simétricos em relação à origem, então as áreas em [0,1] e em [-1,0] têm sinais opostos (mesmo valor absoluto, sinais contrários). Para funções pares as áreas são iguais. Um exemplo concreto: se f(x)=x (ímpar), \int_{0}^{1} x\,dx=\tfrac{1}{2} e \int_{-1}^{0} x\,dx=-\tfrac{1}{2}; se f(x)=x^2 (par), \int_{0}^{1} x^2\,dx=\tfrac{1}{3} e \int_{-1}^{0} x^2\,dx=\tfrac{1}{3}.

Resposta

(a) -3
(b) 3

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