Suponha que
Determine
se (a)
é ímpar, (b)
é par.
Passo 1
O enunciado fornece a informação
e pede para determinar o valor de
em dois casos distintos:
(a) quando é ímpar (isto é,
para todo
);
(b) quando é par (isto é,
para todo
).
(a) quando
(b) quando
Passo 2
Vamos usar uma mudança de variável simples para transformar a integral no intervalo
em uma integral sobre
. Tomamos a substituição
Então
. Quando
temos
e quando
temos
. Assim, usando a regra de substituição em integrais definidas,
Portanto sempre vale a identidade útil
A partir daqui só precisamos usar a propriedade de paridade de
para substituir
.
Passo 3
Caso (a):
é ímpar. Então por definição
Substituindo na expressão obtida no passo anterior:
Como o enunciado dá
, concluímos
Passo 4
Caso (b):
é par. Então por definição
Usando novamente a identidade do passo 2:
Pelo dado
, obtemos
Passo 5
Intuição rápida: para funções ímpares os gráficos são simétricos em relação à origem, então as áreas em
e em
têm sinais opostos (mesmo valor absoluto, sinais contrários). Para funções pares as áreas são iguais. Um exemplo concreto: se
(ímpar),
e
; se
(par),
e
.
Resposta
(a)
(b)