Exemplo 7.1: Superfícies com representação explícita z=f(x, y)
Uma superfície S com representação explícita z=f(x, y),(x, y) \in D, pode ser parametrizada de modo natural usando-se x e y como parâmetros, ou seja, tomando-se como representação paramétrica de S
\varphi(x, y)=(x, y, f(x, y)) \quad, \quad(x, y) \in D .
Se f(x, y) é de classe C^{1}, então S é regular pois
é não nulo para todo (x, y) \in D.
O plano tangente a S em \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\left(x_{0}, y_{0}, f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right) é dado por
O enunciado nos dá uma superfície S definida explicitamente por z=f(x,y) para (x,y)\in D. Os itens que vamos extrair e responder (o que o problema pede) são:
apresentar uma parametrização natural de S;
calcular os vetores tangentes \dfrac{\partial\varphi}{\partial x} e \dfrac{\partial\varphi}{\partial y};
obter um vetor normal a S em um ponto \left(x_0,y_0,z_0\right) e mostrar que ele é não nulo quando f é C^1;
escrever a equação do plano tangente a S em \left(x_0,y_0,z_0\right).
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são:
a superfície está dada por z=f(x,y);
f é de classe C^1 (tem derivadas parciais contínuas);
um ponto genérico da superfície tem coordenadas \left(x,y,f(x,y)\right).
Passo 2
Parametrização natural: como a superfície é dada explicitamente por z=f(x,y), é natural usar x e y como parâmetros. Definimos a função de parametrização
\varphi(x,y)=\bigl(x,\;y,\;f(x,y)\bigr),\qquad (x,y)\in D.
Explicação didática: cada par (x,y) no domínio D determina unicamente um ponto na superfície, cuja terceira coordenada é f(x,y). Por isso usar (x,y) como parâmetros é a escolha mais direta.
Passo 3
Cálculo dos vetores tangentes: tomamos as derivadas parciais de \varphi em relação a x e a y.
Aqui f_x e f_y denotam, respectivamente, \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}. Intuição: \dfrac{\partial\varphi}{\partial x} mostra a direção na superfície quando alteramos só x, e \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} quando alteramos só y.
Passo 4
Cálculo do produto vetorial para obter um vetor normal: um vetor normal à superfície em cada ponto pode ser obtido tomando o produto vetorial dos vetores tangentes.
Explicação das contas: ao expandir o determinante pela primeira linha, o componente i vem de 0\cdot f_y - 1\cdot f_x = -f_x, o componente j vem de 1\cdot f_y - 0\cdot f_x = f_y com sinal negativo pela posição, e o componente k vem de 1\cdot1 - 0\cdot0 = 1.]
Passo 5
Por que esse vetor é não nulo quando f é C^1: o vetor \bigl(-f_x(x,y),-f_y(x,y),1\bigr) tem terceira componente igual a 1. Como 1\neq 0, o vetor não pode ser o vetor nulo. Logo, para todo (x,y)\in D com f de classe C^1, o produto vetorial é não nulo e a parametrização é regular (os vetores tangentes são linearmente independentes).
Passo 6
Interpretação geométrica: o produto vetorial das derivadas parciais é ortogonal aos dois vetores tangentes (propriedade do produto vetorial). Portanto ele é um vetor normal à superfície S no ponto correspondente. Denotando \mathbf{n}(x,y)=\bigl(-f_x(x,y),-f_y(x,y),1\bigr), temos que \mathbf{n}(x,y) é normal à S em \varphi(x,y).
Passo 7
Equação do plano tangente: a equação do plano tangente a S no ponto \bigl(x_0,y_0,z_0\bigr), com z_0=f(x_0,y_0), é dada pela condição de ortogonalidade entre o vetor normal e o vetor posição relativo:
Interpretação didática: essa equação diz que o plano tangente é a melhor aproximação linear de z=f(x,y) perto de (x_0,y_0); equivalently, é a expansão linear de f em torno de (x_0,y_0).
Passo 8
Exemplo concreto (para fixar a ideia): tome f(x,y)=x^2+y^2 e o ponto (x_0,y_0)=(1,0). Calculamos
f_x(x,y)=2x,\qquad f_y(x,y)=2y.
No ponto (1,0) temos f_x(1,0)=2,\;f_y(1,0)=0 e z_0=f(1,0)=1. O vetor normal é
\mathbf{n}(1,0)=(-2,\;0,\;1).
A equação do plano tangente é
-2(x-1)-0\cdot(y-0)+(z-1)=0,
ou seja
z=1+2(x-1)=2x-1.
Isso confirma que, perto de (1,0), a superfície z=x^2+y^2 é aproximada pelo plano z=2x-1.
Passo 9
Dicas rápidas para a prova (passos fáceis a seguir):
escreva imediatamente \varphi(x,y)=(x,y,f(x,y));
calcule \dfrac{\partial\varphi}{\partial x} e \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} mantendo os componentes separados (é mecânico);
faça o produto vetorial usando o determinante 3\times3 — pratique a expansão para não errar sinais;
escreva o plano tangente como \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0 e simplifique para obter z= forma linear se necessário;
verifique sempre a terceira componente do normal: se for 1, já garante que o normal não é nulo.