1. Por meio de uma integral tripla calculada na ordem d x d y d z, determine o volume do sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos x=0, x=1, z=0, y=z e y+z=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido do primeiro octante (ou seja, com x\ge0, y\ge0, z\ge0) limitado pelos planos x=0, x=1, z=0, y=z e y+z=2. A integração deve ser feita na ordem dx\,dy\,dz.
Informações relevantes dadas:
  • O sólido está no primeiro octante: x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0.
  • Limites verticais em x: x=0 e x=1.
  • Limites na direção y e z determinados pelas curvas (plano vertical) y=z e y+z=2.
  • A ordem de integração é dx\,dy\,dz (innermost x, middle y, outermost z).

Passo 2

Conceito que vamos usar: o volume de uma região D é dado por
V=\iiint_{D} dV,
e, com a ordem de integração pedida, isso vira uma integral tripla escrita como
V=\int_{z=\text{?}}^{\text{?}}\int_{y=\text{?}(z)}^{\text{?}(z)}\int_{x=\text{?}(y,z)}^{\text{?}(y,z)} dx\,dy\,dz.
Explicação didática sobre a ordem dx\,dy\,dz: a variável x é integrada primeiro — seus limites podem depender de y e z; em seguida integra-se y com limites possivelmente dependendo de z; por último integra-se z com limites constantes (ou seja, que não dependem de nenhuma variável exterior).

Passo 3

Determinando os limites em x: os planos x=0 e x=1 mostram que, para qualquer ponto do sólido, x varia de 0 até 1. Logo os limites internos são
0\le x\le 1.
Agora precisamos projetar a região sobre o plano yz para achar os limites de y e z. As curvas que limitam essa projeção são y=z e y+z=2, com z\ge0 (pois estamos no primeiro octante). Para saber o intervalo de z devemos encontrar a interseção entre y=z e y+z=2.

Passo 4

Calculando a interseção entre y=z e y+z=2: substituímos y=z em y+z=2,
z+z=2 \quad\Rightarrow\quad 2z=2 \quad\Rightarrow\quad z=1.
Então y=z=1 no ponto de interseção. Isso mostra que a projeção no plano yz ocupa valores de z entre 0 (devido ao plano z=0) e 1 (ponto de interseção). Para um z fixo nessa faixa, y varia entre a curva inferior y=z e a curva superior y=2-z (obtida de y+z=2 isolando y). Portanto os limites são
0\le z\le 1,\qquad z\le y\le 2-z.

Passo 5

Montando a integral tripla de volume com a ordem pedida dx\,dy\,dz:
V=\int_{z=0}^{1}\int_{y=z}^{2-z}\int_{x=0}^{1} dx\,dy\,dz.
Agora calculamos passo a passo. Primeiro, a integral interna em x:
\int_{x=0}^{1} dx = \bigl[x\bigr]_{0}^{1} = 1.

Passo 6

Substituindo o resultado da integral em x na integral dupla restante:
V=\int_{z=0}^{1}\int_{y=z}^{2-z} 1 \, dy\,dz.
Agora integramos em y:
\int_{y=z}^{2-z} 1 \, dy = \bigl[y\bigr]_{y=z}^{y=2-z} = (2-z)-z = 2-2z = 2(1-z).

Passo 7

Falta integrar em z. Temos
V=\int_{z=0}^{1} 2(1-z)\,dz = 2\int_{0}^{1} (1-z)\,dz.
Calcule a integral:
\int_{0}^{1} (1-z)\,dz = \bigl[z-\tfrac{z^{2}}{2}\bigr]_{0}^{1} = \left(1-\tfrac{1}{2}\right)-0 = \tfrac{1}{2}.
Multiplicando por 2:
V = 2\cdot \tfrac{1}{2} = 1.

Resposta

1

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