- Por meio de uma integral tripla calculada na ordem
, determine o volume do sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido do primeiro octante (ou seja, com
,
,
) limitado pelos planos
,
,
,
e
. A integração deve ser feita na ordem
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- O sólido está no primeiro octante:
. - Limites verticais em
: e . - Limites na direção
e determinados pelas curvas (plano vertical) e . - A ordem de integração é
(innermost , middle , outermost ).
Passo 2
Conceito que vamos usar: o volume de uma região
é dado por
e, com a ordem de integração pedida, isso vira uma integral tripla escrita como
Explicação didática sobre a ordem
: a variável
é integrada primeiro — seus limites podem depender de
e
; em seguida integra-se
com limites possivelmente dependendo de
; por último integra-se
com limites constantes (ou seja, que não dependem de nenhuma variável exterior).
Passo 3
Determinando os limites em
: os planos
e
mostram que, para qualquer ponto do sólido,
varia de
até
. Logo os limites internos são
Agora precisamos projetar a região sobre o plano
para achar os limites de
e
. As curvas que limitam essa projeção são
e
, com
(pois estamos no primeiro octante). Para saber o intervalo de
devemos encontrar a interseção entre
e
.
Passo 4
Calculando a interseção entre
e
: substituímos
em
,
Então
no ponto de interseção. Isso mostra que a projeção no plano
ocupa valores de
entre
(devido ao plano
) e
(ponto de interseção). Para um
fixo nessa faixa,
varia entre a curva inferior
e a curva superior
(obtida de
isolando
). Portanto os limites são
Passo 5
Montando a integral tripla de volume com a ordem pedida
:
Agora calculamos passo a passo. Primeiro, a integral interna em
:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral em
na integral dupla restante:
Agora integramos em
:
Passo 7
Falta integrar em
. Temos
Calcule a integral:
Multiplicando por
: