1. Em coordenadas cartesianas ( x, y, z ) um ponto é escrito como ( -1,1,0 ). Como se escreve esse mesmo ponto em coordenadas esféricas (r, \theta, \varphi) ?

Passo 1

O enunciado dá um ponto em coordenadas cartesianas e pede esse mesmo ponto em coordenadas esféricas. Dados fornecidos:
(x,y,z)=(-1,\,1,\,0).
O que se pede: escrever o mesmo ponto na forma (r,\theta,\varphi) em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro eu preciso deixar explícito qual convenção de coordenadas esféricas vou usar (há variações na literatura). Vou usar a convenção padrão em muitos cursos de física/matemática:
\begin{aligned} & r \ge 0\quad\text{(distância ao origem)},\\\ & \theta\quad\text{(azimute)}\quad\text{é o ângulo no plano }xy\text{ contado a partir do eixo }x\text{ positivo, no sentido anti-horário},\\\ & \varphi\quad\text{(colatitude ou ângulo polar)}\quad\text{é o ângulo contado a partir do eixo }z\text{ positivo (}0\le\varphi\le\pi\text{).} \end{aligned}âéâáâéâ
As fórmulas de conversão cartesianas ↔ esféricas nessa convenção são:
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi.
E as fórmulas diretas úteis para obter (r,\theta,\varphi) a partir de (x,y,z) são
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(y,x),\qquad \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{r}\right).
Vou explicar cada fórmula quando usá-la.

Passo 3

Calcular r. É simplesmente a distância do ponto à origem, pela fórmula
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Substituindo x=-1, y=1, z=0:
r=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}.
Portanto r=\sqrt{2}. Isso significa que o ponto está a uma distância \sqrt{2} da origem.

Passo 4

Calcular \theta (azimute no plano xy). Geometricamente, \theta é o ângulo que o vetor projeta no plano xy faz com o eixo x positivo. Uma fórmula prática é usar a função \operatorname{atan2}(y,x) que dá o ângulo correto levando em conta o quadrante.
Aqui temos x=-1 e y=1. A projeção no plano xy é o ponto (-1,1), que está no segundo quadrante (x negativo, y positivo). A razão |y/x|=1 dá um ângulo referência de \arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}. Como estamos no segundo quadrante, o ângulo \theta é
\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.
Também podemos obter isso diretamente com \operatorname{atan2}(1,-1)=\tfrac{3\pi}{4}. Portanto \theta=\tfrac{3\pi}{4}.

Passo 5

Calcular \varphi (ângulo polar a partir do eixo z positivo). Use a fórmula
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{r}\right).
Aqui z=0 e já achamos r=\sqrt{2}, então
\frac{z}{r}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0,
portanto
\varphi=\operatorname{arccos}(0)=\frac{\pi}{2}.
Intuição geométrica: \varphi=\tfrac{\pi}{2} significa que o ponto está exatamente no plano xy (ângulo de 90° em relação ao eixo z), o que bate com z=0.

Passo 6

Conferência rápida (voltar às coordenadas cartesianas) para verificar: com r=\sqrt{2}, \varphi=\tfrac{\pi}{2}, \theta=\tfrac{3\pi}{4},
x = r\sin\varphi\cos\theta = \sqrt{2}\cdot\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\cdot\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cdot 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1,
y = r\sin\varphi\sin\theta = \sqrt{2}\cdot 1 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1,
z = r\cos\varphi = \sqrt{2}\cdot\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\sqrt{2}\cdot 0 = 0.
Tudo confere com (-1,1,0).

Passo 7

Observações finais rápidas e dicas para a prova:
  • Sempre calcule r primeiro; ele simplifica \varphi.
  • Use \operatorname{atan2}(y,x) para \theta ou raciocine pelo quadrante (evita erro de sinal).
  • \varphi=\operatorname{arccos}(z/r) é robusta; se z=0 já dá \varphi=\tfrac{\pi}{2}.
  • Lembre que \theta é definida módulo 2\pi; poderia também escrever \theta=\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi, mas o padrão é dar \theta\in[0,2\pi).

Resposta

\left(\sqrt{2},\,\frac{3\pi}{4},\,\frac{\pi}{2}\right)

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