- Em coordenadas cartesianas (
) um ponto é escrito como (
). Como se escreve esse mesmo ponto em coordenadas esféricas
?
Passo 1
O enunciado dá um ponto em coordenadas cartesianas e pede esse mesmo ponto em coordenadas esféricas. Dados fornecidos:
O que se pede: escrever o mesmo ponto na forma
em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro eu preciso deixar explícito qual convenção de coordenadas esféricas vou usar (há variações na literatura). Vou usar a convenção padrão em muitos cursos de física/matemática:
As fórmulas de conversão cartesianas ↔ esféricas nessa convenção são:
E as fórmulas diretas úteis para obter
a partir de
são
Vou explicar cada fórmula quando usá-la.
Passo 3
Calcular
. É simplesmente a distância do ponto à origem, pela fórmula
Substituindo
,
,
:
Portanto
. Isso significa que o ponto está a uma distância
da origem.
Passo 4
Calcular
(azimute no plano
). Geometricamente,
é o ângulo que o vetor projeta no plano
faz com o eixo
positivo. Uma fórmula prática é usar a função
que dá o ângulo correto levando em conta o quadrante.
Aqui temos
e
. A projeção no plano
é o ponto
, que está no segundo quadrante (x negativo, y positivo). A razão
dá um ângulo referência de
. Como estamos no segundo quadrante, o ângulo
é
Também podemos obter isso diretamente com
. Portanto
.
Passo 5
Calcular
(ângulo polar a partir do eixo
positivo). Use a fórmula
Aqui
e já achamos
, então
portanto
Intuição geométrica:
significa que o ponto está exatamente no plano
(ângulo de 90° em relação ao eixo
), o que bate com
.
Passo 6
Conferência rápida (voltar às coordenadas cartesianas) para verificar: com
,
,
,
Tudo confere com
.
Passo 7
Observações finais rápidas e dicas para a prova:
- Sempre calcule
primeiro; ele simplifica . - Use
para ou raciocine pelo quadrante (evita erro de sinal). -
é robusta; se já dá . - Lembre que
é definida módulo ; poderia também escrever , mas o padrão é dar .