Suponha que uma lâmina ocupe uma região D, que está à esquerda do eixo y, delimitada pelos círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9. •
(b), Calcule a massa de D, se a função de densidade é rho(x, y)=e^x^2+y^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a massa da região , que está à esquerda do eixo e delimitada pelos círculos e . O conteúdo envolve cálculo de integrais duplas usando coordenadas polares, e vamos precisar aplicar a fórmula da massa em coordenadas polares para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Como os limites são círculos com equações e , sabemos que estamos trabalhando em coordenadas polares, onde representa a distância do ponto à origem e o ângulo com o eixo .

Passo 3

A região está à esquerda do eixo , o que significa que o ângulo varia de a . O raio varia de 1 a 3, pois estamos entre os círculos de raio 1 e 3.

Passo 4

A função de densidade é Massa = integraltheta1^theta2 integralr1^r2 rho(r, theta) , r , dr , dtheta . Em coordenadas polares, isso fica . A fórmula para a massa em coordenadas polares é:

Passo 5

Substituindo os limites e a função de densidade:
Massa = integralpi2^3pi2 integral1^3 e^r^2 , r , dr , dtheta

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a integral1^3 e^r^2 , r , dr :
12 integral1^9 e^u , du = 12 (e^9 - e)
Fazendo a substituição , , temos:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral externa em relação a integralpi2^3pi2 12 (e^9 - e) , dtheta = 12 (e^9 - e) ( 3pi2 - pi2 ) = 12 (e^9 - e) cdot pi :

Resposta

A massa da região Massa = pi2 ( e^9 - e ) é:

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