Suponha que uma lâmina ocupe uma região
, que está à esquerda do eixo
, delimitada pelos círculos
e
. •
(b), Calcule a massa de
, se a função de densidade é
.
(b), Calcule a massa de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a massa da região
, que está à esquerda do eixo
e delimitada pelos círculos
e
. O conteúdo envolve cálculo de integrais duplas usando coordenadas polares, e vamos precisar aplicar a fórmula da massa em coordenadas polares para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Como os limites são círculos com equações
e
, sabemos que estamos trabalhando em coordenadas polares, onde
representa a distância do ponto à origem e
o ângulo com o eixo
.
Passo 3
A região
está à esquerda do eixo
, o que significa que o ângulo
varia de
a
. O raio
varia de 1 a 3, pois estamos entre os círculos de raio 1 e 3.
Passo 4
A função de densidade é
. Em coordenadas polares, isso fica
. A fórmula para a massa em coordenadas polares é:
Passo 5
Substituindo os limites e a função de densidade:
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, temos:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral externa em relação a
:
Resposta
A massa da região
é: