Suponha que uma lâmina ocupe uma região
no plano
e que a função
represente sua densidade. A massa de
é definida por
enquanto que o centro de massa de
é o ponto
cujas coordenadas são
(a) Encontre o centro de massa da lâmina que ocupa a região
e cuja função densidade é
.
Passo 1
Neste exercício, queremos encontrar o centro de massa de uma lâmina que ocupa a região D = { (x,y) ; 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 4 } com densidade ρ(x,y) = 2 y². Para isso usamos as fórmulas
para a massa
para a massa
e para as coordenadas do centro de massa
Passo 2
Calculamos a massa m fazendo a integral dupla de ρ sobre D:
Primeiro em y:
Depois em x:
Passo 3
Para achar
, fazemos
Como a integral se separa em x e y:
Logo
Passo 4
Para achar
, calculamos
De novo separamos:
Assim