Suponha que uma lâmina ocupe uma região D no plano x y e que a função rho: D R^+represente sua densidade. A massa de D é definida por
m=integral duplaD rho(x, y) d A
enquanto que o centro de massa de D é o ponto (barx, bary) in D cujas coordenadas são
barx=1m integral dupla x rho(x, y) d A e bary=1m integral dupla y rho(x, y) d A
(a) Encontre o centro de massa da lâmina que ocupa a região D=(x, y) ; 1 <= x <= 3,1 <= y <= 4 e cuja função densidade é rho(x, y)=2 y^2.

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar o centro de massa de uma lâmina que ocupa a região D = { (x,y) ; 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 4 } com densidade ρ(x,y) = 2 y². Para isso usamos as fórmulas
para a massa
m = integral duplaD rho(x,y),dA,
e para as coordenadas do centro de massa
barx = 1mintegral duplaD x,rho(x,y),dA, bary = 1mintegral duplaD y,rho(x,y),dA

Passo 2

Calculamos a massa m fazendo a integral dupla de ρ sobre D:
m = integral duplaD 2y^2 ,dA = integralx=1^3 integraly=1^4 2y^2 ,dy,dx
Primeiro em y:
integraly=1^4 2y^2 ,dy = l[2y^33r]1^4 = 2(64-1)3 = 42
Depois em x:
m = integral1^3 42 ,dx = 42,(3-1) = 84

Passo 3

Para achar barx, fazemos
barx = 1m integral duplaD x,2y^2 ,dA = 184 integralx=1^3 integraly=1^4 x,2y^2 ,dy,dx
Como a integral se separa em x e y:
integralx=1^3 x ,dx = l[x^22r]1^3 = 4, integraly=1^4 2y^2 ,dy = 42
Logo
barx = 4times 4284 = 2

Passo 4

Para achar bary, calculamos
bary = 1m integral duplaD y,2y^2 ,dA = 184 integralx=1^3 integraly=1^4 2y^3 ,dy,dx
De novo separamos:
integralx=1^3 1 ,dx = 2, integraly=1^4 2y^3 ,dy = l[y^42r]1^4 = 2552
Assim
bary = 2times (255/2)84 = 25584 = 8528

Resposta

(2, tfrac8528)

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