Suponha que a lâmina ocupe uma região R limitada pelas retas x=0, y=0 e y=1-x que tenha como função densidade rho(x, y)=x+y.
(0,5) Esboce a região R e determine os limites de integração.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma lâmina que ocupa uma região delimitada pelas retas , e . A função densidade dessa lâmina é dada por . Nosso objetivo é esboçar essa região e determinar quais são os limites de integração que usaremos para resolver problemas relacionados a essa lâmina.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o gráfico das retas que delimitam a região . As retas são:
  • : essa é a reta do eixo .
  • : essa é a reta do eixo .
  • : essa é uma reta que intercepta o eixo em e o eixo em .

Passo 3

Ao plotar essas retas no plano cartesiano, percebemos que elas formam um triângulo. Os vértices desse triângulo estão nos pontos , e . Essa área triangular é a região que estamos considerando.

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para calcular, por exemplo, a massa total da lâmina. Para isso, temos que decidir a ordem de integração, ou seja, se vamos integrar em relação a primeiro ou a primeiro. Vamos optar por integrar primeiro em relação a .

Passo 5

Observando o triângulo, para um valor fixo de , o valor de começa em e vai até (que vem da equação da reta ). Já o valor de varia de a . Portanto, os limites de integração são:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .

Resposta

Os limites de integração são:
integraly=0^1 integralx=0^1 - y (x + y) , dx , dy

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