Suponha que a lâmina ocupe uma região R limitada pelas retas
e
que tenha como função densidade
.
Esboce a região R e determine os limites de integração.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma lâmina que ocupa uma região
delimitada pelas retas
,
e
. A função densidade dessa lâmina é dada por
. Nosso objetivo é esboçar essa região
e determinar quais são os limites de integração que usaremos para resolver problemas relacionados a essa lâmina.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o gráfico das retas que delimitam a região
. As retas são:
-
: essa é a reta do eixo . -
: essa é a reta do eixo . -
: essa é uma reta que intercepta o eixo em e o eixo em .
Passo 3
Ao plotar essas retas no plano cartesiano, percebemos que elas formam um triângulo. Os vértices desse triângulo estão nos pontos
,
e
. Essa área triangular é a região
que estamos considerando.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para calcular, por exemplo, a massa total da lâmina. Para isso, temos que decidir a ordem de integração, ou seja, se vamos integrar em relação a
primeiro ou a
primeiro. Vamos optar por integrar primeiro em relação a
.
Passo 5
Observando o triângulo, para um valor fixo de
, o valor de
começa em
e vai até
(que vem da equação da reta
). Já o valor de
varia de
a
. Portanto, os limites de integração são:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a .
Resposta
Os limites de integração são: