Suponha que a lâmina ocupe uma região R limitada pelas retas x=0, y=0 e y=1-x que tenha como função densidade rho(x, y)=x+y.
(1,0) Determine o momento da lâmina inteira em relação ao eixo x(Mx).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o momento da lâmina inteira em relação ao eixo x, que é o Mx. A gente vai usar cálculo integral, mais especificamente momentos de áreas com uma função densidade rho(x, y) = x + y. Pra resolver isso, vamos precisar definir os limites de integração da região R e aplicar a função densidade na fórmula do momento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento em relação ao eixo x, Mx, é calculado integrando a densidade multiplicada pela distância y ao longo da região R. A fórmula fica assim:
Mx = integral duplaR rho(x, y) cdot y , dA

Passo 3

Agora, substituímos a função densidade rho(x, y) = x + y na fórmula:
Mx = integral duplaR (x + y) cdot y , dA = integral duplaR (x y + y^2) , dA

Passo 4

Vamos definir os limites de integração da região R. A região é delimitada pelas retas x=0, y=0 e y=1 - x. Então, podemos descrever R assim:
  • x varia de 0 a 1
  • Para cada x, y varia de 0 a 1 - x

Passo 5

Com os limites definidos, montamos a integral dupla:
Mx = integral0^1 integral0^1 - x (x y + y^2) , dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a y.

Passo 6

Calculando a integral interna:
integral0^1 - x (x y + y^2) , dy = x cdot (1 - x)^22 + (1 - x)^33

Passo 7

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa:
Mx = integral0^1 ( x (1 - x)^22 + (1 - x)^33 ) dx
Agora, vamos calcular essa integral.

Passo 8

Vamos dividir a integral em duas partes e resolver separadamente:
Mx = 12 integral0^1 x (1 - x)^2 , dx + 13 integral0^1 (1 - x)^3 , dx
Primeiro, expandimos x (1 - x)^2:
x(1 - x)^2 = x (1 - 2x + x^2) = x - 2x^2 + x^3
Então, a primeira integral fica:
12 integral0^1 (x - 2x^2 + x^3) , dx = 12 ( 12 - 23 + 14 ) = 124
A segunda integral é direta:
13 integral0^1 (1 - x)^3 , dx = 112

Passo 9

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
Mx = 124 + 112 = 18

Resposta

O momento da lâmina em relação ao eixo x é Mx = 18.

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