Suponha que a lâmina ocupe uma região R limitada pelas retas
e
que tenha como função densidade
.
Determine o momento da lâmina inteira em relação ao eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o momento da lâmina inteira em relação ao eixo x, que é o
. A gente vai usar cálculo integral, mais especificamente momentos de áreas com uma função densidade
. Pra resolver isso, vamos precisar definir os limites de integração da região R e aplicar a função densidade na fórmula do momento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento em relação ao eixo x,
, é calculado integrando a densidade multiplicada pela distância y ao longo da região R. A fórmula fica assim:
Passo 3
Agora, substituímos a função densidade
na fórmula:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração da região R. A região é delimitada pelas retas
,
e
. Então, podemos descrever R assim:
- x varia de 0 a 1
- Para cada x, y varia de 0 a 1 - x
Passo 5
Com os limites definidos, montamos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a y.
Passo 6
Calculando a integral interna:
Passo 7
Substituindo o resultado da integral interna na integral externa:
Agora, vamos calcular essa integral.
Passo 8
Vamos dividir a integral em duas partes e resolver separadamente:
Primeiro, expandimos
:
Então, a primeira integral fica:
A segunda integral é direta:
Passo 9
Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
Resposta
O momento da lâmina em relação ao eixo x é
.