Questão (8 pts)
Um objeto que se desloca no espaço tem, no tempo
, velocidade [
. I]
(a) Calcule a distância percorrida por esse objeto entre
.
(a) Calcule a distância percorrida por esse objeto entre
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto que se move no espaço com uma velocidade que depende do tempo, dada pela função vetorial:
O conteúdo aqui envolve cálculo de distância percorrida usando a integração da magnitude do vetor velocidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral da norma de
de
até
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a magnitude (ou norma) do vetor velocidade
. A magnitude de um vetor
é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Sabemos que
e
. Então:
Simplificando mais:
Passo 4
Agora, para encontrar a distância percorrida, precisamos integrar essa magnitude de
a
:
Passo 5
Essa integral não tem uma solução elemental, ou seja, não conseguimos encontrar uma antiderivada que seja uma expressão simples. Portanto, para calcular o valor numérico da distância, vamos precisar usar métodos de aproximação, como a integração numérica (por exemplo, método dos trapézios ou regras de Simpson).
Passo 6
Usando uma calculadora ou software de cálculo numérico, avaliamos a integral:
(Como não estamos executando o cálculo numérico aqui, você pode usar uma ferramenta como o Wolfram Alpha para obter esse valor.)
Resposta
A distância percorrida pelo objeto entre
e
é aproximadamente [valor numérico] unidades de distância.