Neste exercício, vamos encontrar séries de potências ao redor de para várias funções usando a série geométrica e determinar o intervalo de convergência de cada uma delas.
A ideia central é usar a fórmula da série geométrica: para , fazendo substituições adequadas para cada função.
Passo 2
Para a parte (a), escrevemos . Aplicando a série geométrica com , obtemos . A condição de convergência é , ou seja .
Passo 3
Na parte (b), temos . Tomando , a expansão é . Converge para , isto é .
Na parte (d), escrevemos 1x+10=110cdot11+,x10=110cdot11-(-x10). Aplicando a série, resulta em 110sumn=0^infty(-tfracx10)^n=sumn=0^infty(-1)^nx^n10^,n+1. Converge se |x|<10.
Passo 6
No item (e), temos x9+x^2=x9cdot11+x^29=x9cdot11-(-x^29). Assim, x9sumn=0^infty(-tfracx^29)^n=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+19^,n+1, com |x^2/9|<1, isto é |x|<3.
Passo 7
No (f), x2x^2+1=xcdot11+2x^2=xcdot11-(-2x^2). Logo, xsumn=0^infty(-2x^2)^n=sumn=0^infty(-1)^n2^n x^2n+1, convergindo para |2x^2|<1, isto é |x|.
Passo 8
No item (g), dividimos em duas frações: 1+x1-x=11-x+x1-x. Sabemos sumn=0^infty x^n=11-x e sumn=0^infty x^n+1=sumn=1^infty x^n. Somando, obtemos sumn=0^infty x^n+sumn=1^infty x^n=1+2sumn=1^infty x^n, com |x|<1.