Obtenha uma representação em série de potências (em torno de x0=0 ) para as seguintes funções; determine também o intervalo de convergência para cada uma das séries. Use 1+x+x^2+cdots+x^n+cdots= 1 /(1-x), se |x|<1.
(a) f(x)=11+x
(b) f(x)=51-4 x^2
© f(x)=23-x
(d) f(x)=1x+10
(e) f(x)=x9+x^2
(f) f(x)=x2 x^2+1
(g) f(x)=1+x1-x

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar séries de potências ao redor de x0=0 para várias funções usando a série geométrica e determinar o intervalo de convergência de cada uma delas.
A ideia central é usar a fórmula da série geométrica: sumn=0^infty u^n=11-u para |u|<1, fazendo substituições adequadas para cada função.

Passo 2

Para a parte (a), escrevemos 11+x=11-(-x). Aplicando a série geométrica com u=-x, obtemos sumn=0^infty(-x)^n=sumn=0^infty(-1)^n x^n. A condição de convergência é |-x|<1, ou seja |x|<1.

Passo 3

Na parte (b), temos 51-4x^2=5cdot11-(2x)^2. Tomando u=(2x)^2, a expansão é 5sumn=0^infty(2x)^2n=5sumn=0^infty4^n x^2n. Converge para |2x|<1, isto é |x|.

Passo 4

Para ©, 23-x=2/31-x3. Usando u=x3, obtemos 23sumn=0^inftyl(x3r)^n=sumn=0^infty23^,n+1x^n. A condição é l|tfracx3r|<1, ou seja |x|<3.

Passo 5

Na parte (d), escrevemos 1x+10=110cdot11+,x10=110cdot11-(-x10). Aplicando a série, resulta em 110sumn=0^infty(-tfracx10)^n=sumn=0^infty(-1)^nx^n10^,n+1. Converge se |x|<10.

Passo 6

No item (e), temos x9+x^2=x9cdot11+x^29=x9cdot11-(-x^29). Assim, x9sumn=0^infty(-tfracx^29)^n=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+19^,n+1, com |x^2/9|<1, isto é |x|<3.

Passo 7

No (f), x2x^2+1=xcdot11+2x^2=xcdot11-(-2x^2). Logo, xsumn=0^infty(-2x^2)^n=sumn=0^infty(-1)^n2^n x^2n+1, convergindo para |2x^2|<1, isto é |x|.

Passo 8

No item (g), dividimos em duas frações: 1+x1-x=11-x+x1-x. Sabemos sumn=0^infty x^n=11-x e sumn=0^infty x^n+1=sumn=1^infty x^n. Somando, obtemos sumn=0^infty x^n+sumn=1^infty x^n=1+2sumn=1^infty x^n, com |x|<1.

Resposta

(a) 11+x=sumn=0^infty(-1)^n x^n, |x|<1.
(b) 51-4x^2=sumn=0^infty5cdot4^n x^2n, |x|.
© 23-x=sumn=0^infty23^n+1x^n, |x|<3.
(d) 1x+10=sumn=0^infty(-1)^nx^n10^n+1, |x|<10.
(e) x9+x^2=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+19^n+1, |x|<3.
(f) x2x^2+1=sumn=0^infty(-1)^n2^n x^2n+1, |x|.
(g) 1+x1-x=1+2sumn=1^infty x^n, |x|<1.

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