Suponha que \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1 e \lim _{x \rightarrow 0} g(x)=-5. Especifique as regras do Teorema 1 que são usadas para efetuar os passos (a), (b) e (c) no cálculo seguinte.
\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f(x)-g(x)}{(f(x)+7)^{2 / 3}} & =\frac{\lim _{x \rightarrow 0}(2 f(x)-g(x))}{\lim _{x \rightarrow 0}(f(x)+7)^{2 / 3}} \\\ & =\frac{\lim _{x \rightarrow 0} 2 f(x)-\lim _{x \rightarrow 0} g(x)}{\left(\lim _{x \rightarrow 0}(f(x)+7)\right)^{2 / 3}} \\\ & =\frac{2 \lim _{x \rightarrow 0} f(x)-\lim _{x \rightarrow 0} g(x)}{\left(\lim _{x \rightarrow 0} f(x)+\lim _{x \rightarrow 0} 7\right)^{2 / 3}} \\\ & =\frac{(2)(1)-(-5)}{(1+7)^{2 / 3}}=\frac{7}{4} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá
\lim_{x\to0}f(x)=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}g(x)=-5
e pede que identifiquemos, em cada passagem do cálculo
\lim_{x\to0}\frac{2f(x)-g(x)}{(f(x)+7)^{2/3}}
as regras do Teorema 1 usadas nos passos (a), (b) e (c).

Passo 2

Passo (a): de
\lim_{x\to0}\frac{2f(x)-g(x)}{(f(x)+7)^{2/3}} \quad\longrightarrow\quad \frac{\lim_{x\to0}\bigl(2f(x)-g(x)\bigr)}{\lim_{x\to0}(f(x)+7)^{2/3}}
foi aplicada a regra do quociente de limites:
\lim_{x\to a}\frac{H(x)}{K(x)} =\frac{\lim_{x\to a}H(x)}{\lim_{x\to a}K(x)}, \quad\text{desde que }\lim_{x\to a}K(x)\neq0.

Passo 3

Passo (b): de
\frac{\lim(2f(x)-g(x))}{\lim(f(x)+7)^{2/3}} \quad\longrightarrow\quad \frac{\lim2f(x)-\lim g(x)}{\bigl(\lim(f(x)+7)\bigr)^{2/3}}
foram usadas duas regras:
  1. soma/diferença de limites
\lim_{x\to a}\bigl(U(x)-V(x)\bigr) =\lim_{x\to a}U(x)\;-\;\lim_{x\to a}V(x),
  1. limite de função composta potência
\lim_{x\to a}\bigl(G(x)\bigr)^{2/3} =\bigl(\lim_{x\to a}G(x)\bigr)^{2/3}.

Passo 4

Passo (c): de
\frac{\lim2f(x)-\lim g(x)}{\bigl(\lim f(x)+\lim7\bigr)^{2/3}} \quad\longrightarrow\quad \frac{2\lim f(x)-\lim g(x)}{\bigl(\lim f(x)+7\bigr)^{2/3}}
foram aplicadas as regras
– constante fator fora do limite: \displaystyle\lim_{x\to a}c\,H(x)=c\,\lim_{x\to a}H(x),
– soma de limites e limite de constante: \displaystyle\lim_{x\to a}\bigl(H(x)+c\bigr) =\lim_{x\to a}H(x)+\lim_{x\to a}c =\lim H(x)+c.

Resposta

(a) Regra do quociente de limites.
(b) Regra da soma/diferença de limites e regra da potência de um limite (função composta).
(c) Regra do fator constante, soma de limites e limite de constante.

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