Sejam \lim _{x \rightarrow 1} h(x)=5, \lim _{x \rightarrow 1} p(x)=1 e \lim _{x \rightarrow 1} r(x)=-2. Especifique as regras do Teorema 1 que são usadas para efetuar os passos (a), (b) e (c) no cálculo seguinte.
\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 h(x)}}{p(x)(4-r(x))} & =\frac{\lim _{x \rightarrow 1} \sqrt{5 h(x)}}{\lim _{x \rightarrow 1}(p(x)(4-r(x)))} \\\ & =\frac{\sqrt{\lim _{x \rightarrow 1} 5 h(x)}}{\left(\lim _{x \rightarrow 1} p(x)\right)\left(\lim _{x \rightarrow 1}(4-r(x))\right)} \\\ & =\frac{\sqrt{5 \lim _{x \rightarrow 1} h(x)}}{\left(\lim _{x \rightarrow 1} p(x)\right)\left(\lim _{x \rightarrow 1} 4-\lim _{x \rightarrow 1} r(x)\right)} \\\ & =\frac{\sqrt{(5)(5)}}{(1)(4-2)}=\frac{5}{2} \end{aligned}

Passo 1

Resumindo, sabemos os limites \lim_{x\to1}h(x)=5, \lim_{x\to1}p(x)=1 e \lim_{x\to1}r(x)=-2.
Queremos identificar, em cada igualdade abaixo, qual regra do Teorema 1 foi usada:
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{5\,h(x)}}{p(x)\bigl(4 - r(x)\bigr)} =\frac{\lim_{x\to1}\sqrt{5\,h(x)}}{\lim_{x\to1}\bigl(p(x)\,(4 - r(x))\bigr)} \tag{a}
=\frac{\sqrt{\lim_{x\to1}5\,h(x)}}{\bigl(\lim_{x\to1}p(x)\bigr)\,\bigl(\lim_{x\to1}(4 - r(x))\bigr)} \tag{b}
=\frac{\sqrt{5\,\lim_{x\to1}h(x)}}{\bigl(\lim_{x\to1}p(x)\bigr)\,\Bigl(\lim_{x\to1}4-\lim_{x\to1}r(x)\Bigr)} \tag{c}

Passo 2

Na igualdade (a) usamos a regra do quociente: se \lim_{x\to a}u(x) existe e \lim_{x\to a}v(x)\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{u(x)}{v(x)} =\frac{\lim_{x\to a}u(x)}{\lim_{x\to a}v(x)}.

Passo 3

Na igualdade (b) aplicamos duas regras simultâneas:
  1. Regra da função composta contínua para \sqrt{\cdot}: como \sqrt{t} é contínua em todos os t\ge0,
\lim_{x\to a}\sqrt{u(x)} =\sqrt{\lim_{x\to a}u(x)}.
  1. Regra do produto: se \lim_{x\to a}u(x) e \lim_{x\to a}v(x) existem, então
\lim_{x\to a}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr) =\bigl(\lim_{x\to a}u(x)\bigr)\,\bigl(\lim_{x\to a}v(x)\bigr).

Passo 4

Na igualdade (c) usamos:
  1. Regra da multiplicação por constante: para c fixo,
\lim_{x\to a}c\,u(x) =c\;\lim_{x\to a}u(x).
  1. Regra da soma (diferença):
\lim_{x\to a}\bigl(c - u(x)\bigr) =c - \lim_{x\to a}u(x).

Resposta

(a) Regra do quociente.
(b) Regra da função composta contínua \sqrt{\cdot} e regra do produto.
(c) Regra da multiplicação por constante e regra da soma (diferença).

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