(1,0) Suponha que lim x 0 f(x)=L com L>0. Prove que existe de0 tal que se 0<|x-a| então f(x)>0.

Passo 1

Temos uma função f tal que limxto af(x)=L com L>0. Queremos mostrar que existe de0 de modo que, sempre que 0<|x-a|, valha f(x)>0. O conteúdo aqui é a definição varepsilon- de de limite.

Passo 2

Pela definição de limite, para qualquer varepsilon>0 existe de0 tal que, se 0<|x-a|, então |f(x)-L|.

Passo 3

Agora, como L>0, escolhemos varepsilon=tfracL2. Assim, existe um de0 tal que sempre que 0<|x-a| temos
|f(x)-L|

Passo 4

Dessa desigualdade segue:
f(x)-L>-L2Longrightarrow f(x)>L-L2=L2>0

Resposta

Basta tomar o de0 fornecido pela definição de limite ao escolher varepsilon=tfracL2. Então, para todo x com 0<|x-a| temos f(x)>0.

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