Suponha que as linhas de campo elétrico em determinada área no espaço sejam linhas retas. Se uma partícula carregada for libertada do repouso nessa área, a trajetória da partícula seguirá ao longo de uma linha de campo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação 1: “As linhas de campo elétrico em determinada área no espaço sejam linhas retas.” Ou seja, em cada ponto dessa região as linhas de campo são segmentos de retas (cada linha é uma reta; direções ao longo de uma mesma linha são constantes).
- Informação 2: “Uma partícula carregada for libertada do repouso nessa área.” Ou seja, a partícula tem carga
, massa e a condição inicial de velocidade é nula: . - Pergunta: A trajetória da partícula seguirá ao longo de uma linha de campo? (ou seja, ela se moverá sempre tangente à linha de campo que passa por sua posição inicial?)
Passo 2
Escrevendo a lei fundamental que governa a força elétrica sobre a partícula: a força elétrica é proporcional ao campo elétrico no ponto onde a partícula está. Em forma vetorial:
onde
é a força,
é a carga da partícula,
é o campo elétrico no ponto de posição
. Pela segunda lei de Newton temos a equação do movimento
onde
é a massa e
é a aceleração (derivada segunda da posição no tempo). Isso significa: a aceleração da partícula no instante
aponta sempre na direção do vetor
no ponto onde ela está.
Passo 3
Interpretação geométrica de “linhas de campo retas”: se uma linha de campo que passa por um ponto
é uma reta, então existe um versor (vetor unitário) fixo
que dá a direção daquela reta, e a componente tangente do campo naquele ponto é paralela a
. Portanto, para pontos
ao longo dessa mesma reta podemos escrever
onde
é a intensidade (escala) do campo naquele ponto, que pode variar com
, mas a direção
é a mesma ao longo de toda a reta.
Passo 4
Vamos decompor o movimento em componentes paralela e perpendicular à reta (linha de campo) que passa pela posição inicial. Escolhemos um sistema de eixos locais com
(paralelo à linha) e
(qualquer direção perpendicular). Escrevendo a equação do movimento componente a componente:
Mas, como explicado no passo anterior, ao longo da reta a componente perpendicular do campo é zero:
. Logo
Isto quer dizer que não existe aceleração na direção perpendicular à linha de campo.
Passo 5
Aplicando a condição inicial “libertada do repouso”:
. Em particular a componente perpendicular inicial é
. A equação
com condição inicial
implica que
ou seja, a velocidade perpendicular permanece nula para todo o tempo. Se a velocidade perpendicular é sempre zero, a partícula não se afasta da reta: seu movimento é estritamente ao longo da direção
.
Passo 6
Conclusão física do raciocínio: como a aceleração está sempre paralela à reta (linha de campo) e a velocidade inicial não tem componente perpendicular, a trajetória permanece confinada àquela reta. Em linguagem simples: a força elétrica nunca “puxa” a partícula para fora da linha de campo, então ela segue a linha de campo que passa por sua posição inicial.
Passo 7
Dois exemplos para fixar a ideia:
- Campo uniforme (linhas paralelas retas):
. A equação dá movimento unidimensional ao longo de — óbvio que a partícula segue as linhas. - Campo radial de uma carga pontual (linhas são raios retos saindo do centro):
. Se a partícula é libertada do repouso em algum ponto, ela mover-se-á radialmente (ao longo do raio/linha reta que passa pelo ponto).
Passo 8
Observações e ressalvas importantes (quando a conclusão pode falhar):
- Se houver outras forças além da força elétrica (por exemplo força magnética), a conclusão pode falhar. Em particular, um campo magnético
adiciona a força , que pode dar componente perpendicular e desviar a trajetória. - Se a partícula não for libertada do repouso, ou seja se tiver inicialmente uma componente de velocidade perpendicular à linha (
), então essa componente perpendicular permanece (na ausência de força perpendicular) e o movimento não ficará preso à linha de campo. - Colisões, gradientes muito bruscos ou campos não bem definidos seriam outras causas que poderiam invalidar o idealização.
Resposta
Sim. A partícula seguirá a linha de campo que passa por sua posição inicial, desde que só atue a força elétrica
(sem forças externas como
) e que seja libertada do repouso (ou seja, sem componente de velocidade perpendicular inicial).