Suponha que as linhas de campo elétrico em determinada área no espaço sejam linhas retas. Se uma partícula carregada for libertada do repouso nessa área, a trajetória da partícula seguirá ao longo de uma linha de campo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação 1: “As linhas de campo elétrico em determinada área no espaço sejam linhas retas.” Ou seja, em cada ponto dessa região as linhas de campo são segmentos de retas (cada linha é uma reta; direções ao longo de uma mesma linha são constantes).
  • Informação 2: “Uma partícula carregada for libertada do repouso nessa área.” Ou seja, a partícula tem carga q, massa m e a condição inicial de velocidade é nula: \mathbf{v}(0)=\mathbf{0}.
  • Pergunta: A trajetória da partícula seguirá ao longo de uma linha de campo? (ou seja, ela se moverá sempre tangente à linha de campo que passa por sua posição inicial?)

Passo 2

Escrevendo a lei fundamental que governa a força elétrica sobre a partícula: a força elétrica é proporcional ao campo elétrico no ponto onde a partícula está. Em forma vetorial:
\mathbf{F}=q\mathbf{E}(\mathbf{r}),
onde \mathbf{F} é a força, q é a carga da partícula, \mathbf{E}(\mathbf{r}) é o campo elétrico no ponto de posição \mathbf{r}. Pela segunda lei de Newton temos a equação do movimento
m\ddot{\mathbf{r}}=q\mathbf{E}(\mathbf{r}),
onde m é a massa e \ddot{\mathbf r} é a aceleração (derivada segunda da posição no tempo). Isso significa: a aceleração da partícula no instante t aponta sempre na direção do vetor \mathbf{E} no ponto onde ela está.

Passo 3

Interpretação geométrica de “linhas de campo retas”: se uma linha de campo que passa por um ponto P é uma reta, então existe um versor (vetor unitário) fixo \hat{\mathbf t} que dá a direção daquela reta, e a componente tangente do campo naquele ponto é paralela a \hat{\mathbf t}. Portanto, para pontos \mathbf r ao longo dessa mesma reta podemos escrever
\mathbf{E}(\mathbf r)=E_\parallel(\mathbf r)\,\hat{\mathbf t},
onde E_\parallel(\mathbf r) é a intensidade (escala) do campo naquele ponto, que pode variar com \mathbf r, mas a direção \hat{\mathbf t} é a mesma ao longo de toda a reta.

Passo 4

Vamos decompor o movimento em componentes paralela e perpendicular à reta (linha de campo) que passa pela posição inicial. Escolhemos um sistema de eixos locais com \hat{\mathbf t} (paralelo à linha) e \hat{\mathbf n} (qualquer direção perpendicular). Escrevendo a equação do movimento componente a componente:
m\ddot r_\parallel = q E_\parallel(\mathbf r),
m\ddot r_\perp = q E_\perp(\mathbf r).
Mas, como explicado no passo anterior, ao longo da reta a componente perpendicular do campo é zero: E_\perp(\mathbf r)=0. Logo
m\ddot r_\perp = 0.
Isto quer dizer que não existe aceleração na direção perpendicular à linha de campo.

Passo 5

Aplicando a condição inicial “libertada do repouso”: \mathbf v(0)=\mathbf 0. Em particular a componente perpendicular inicial é \dot r_\perp(0)=0. A equação \ddot r_\perp=0 com condição inicial \dot r_\perp(0)=0 implica que
\dot r_\perp(t)=0\quad\text{para todo }t,
ou seja, a velocidade perpendicular permanece nula para todo o tempo. Se a velocidade perpendicular é sempre zero, a partícula não se afasta da reta: seu movimento é estritamente ao longo da direção \hat{\mathbf t}.

Passo 6

Conclusão física do raciocínio: como a aceleração está sempre paralela à reta (linha de campo) e a velocidade inicial não tem componente perpendicular, a trajetória permanece confinada àquela reta. Em linguagem simples: a força elétrica nunca “puxa” a partícula para fora da linha de campo, então ela segue a linha de campo que passa por sua posição inicial.

Passo 7

Dois exemplos para fixar a ideia:
  • Campo uniforme (linhas paralelas retas): \mathbf{E}=E_0\hat{\mathbf x}. A equação m\ddot x=qE_0 dá movimento unidimensional ao longo de x — óbvio que a partícula segue as linhas.
  • Campo radial de uma carga pontual (linhas são raios retos saindo do centro): \mathbf{E}=(kQ/r^2)\,\hat{\mathbf r}. Se a partícula é libertada do repouso em algum ponto, ela mover-se-á radialmente (ao longo do raio/linha reta que passa pelo ponto).

Passo 8

Observações e ressalvas importantes (quando a conclusão pode falhar):
  • Se houver outras forças além da força elétrica (por exemplo força magnética), a conclusão pode falhar. Em particular, um campo magnético \mathbf{B} adiciona a força q\mathbf v\times\mathbf B, que pode dar componente perpendicular e desviar a trajetória.
  • Se a partícula não for libertada do repouso, ou seja se tiver inicialmente uma componente de velocidade perpendicular à linha ( \dot r_\perp(0)\neq0), então essa componente perpendicular permanece (na ausência de força perpendicular) e o movimento não ficará preso à linha de campo.
  • Colisões, gradientes muito bruscos ou campos não bem definidos seriam outras causas que poderiam invalidar o idealização.

Resposta

Sim. A partícula seguirá a linha de campo que passa por sua posição inicial, desde que só atue a força elétrica q\mathbf{E} (sem forças externas como \mathbf{v}\times\mathbf{B}) e que seja libertada do repouso (ou seja, sem componente de velocidade perpendicular inicial).

Exercícios relacionados