Suponha que f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} seja uma função e que a \in \mathbb{R}. Prove que \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L, se e somente se, \lim _{x \rightarrow 0} f(x+a)=L.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e um ponto a\in\mathbb{R}. Pede para provar a equivalência lógica entre duas afirmações:
  • A afirmação A: \lim_{x\to a} f(x)=L.
  • A afirmação B: \lim_{x\to 0} f(x+a)=L.
Ou seja, precisamos mostrar duas implicações: A \Rightarrow B e B \Rightarrow A. Nada mais é dado; o objetivo é fornecer uma prova formal (vareável- \varepsilon- \delta ) das duas direções.

Passo 2

Vou recordar a definição \varepsilon- \delta de limite (porque vamos usá-la em toda a prova). Esta é a versão que conhecemos:
  • Dizemos que \lim_{x\to a} f(x)=L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, temos |f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando o que cada símbolo significa:
  • \varepsilon>0 é um número pequeno que representa a tolerância no valor da função em relação a L.
  • \delta>0 é um número que determina quão perto de a devemos estar no domínio para garantir que a diferença em valores da função fique dentro de \varepsilon.
  • A condição 0<|x-a|<\delta significa que x está suficientemente perto de a, mas diferente de a.
  • A conclusão |f(x)-L|<\varepsilon significa que o valor de f(x) está dentro da tolerância \varepsilon de L.
Para a função deslocada g(t)=f(t+a), a definição é análoga: \lim_{t\to 0} g(t)=L significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que 0<|t|<\delta\Rightarrow |f(t+a)-L|<\varepsilon.

Passo 3

Prova da direção A \Rightarrow B (ou seja, suponha \lim_{x\to a} f(x)=L e prove \lim_{t\to 0} f(t+a)=L).
Começo por assumir a hipótese:
\text{(Hipótese)}\qquad \lim_{x\to a} f(x)=L.ó
Pela definição \varepsilon- \delta: dado qualquer \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
0<|x-a|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.
Agora quero mostrar que a mesma propriedade vale quando a variável tende a 0 para a função t\mapsto f(t+a). Seja \varepsilon>0 arbitrário. Pelo que afirmei, existe \delta>0 com a propriedade acima. Vou escolher para a prova da convergência em 0 exatamente o mesmo \delta.
Considere qualquer t com 0<|t|<\delta. Defina x = t + a. Então
|x-a| = |t+a - a| = |t| < \delta,
e também x\neq a porque t\neq 0. Logo, pelas hipóteses da definição,
|f(t+a)-L| = |f(x)-L| < \varepsilon.
Isto mostra exatamente que, para o mesmo \delta, se 0<|t|<\delta então |f(t+a)-L|<\varepsilon. Portanto, pela definição, \lim_{t\to 0} f(t+a)=L. Direção A \Rightarrow B provada.
Comentário didático sobre o passo anterior (intuição): o que fiz foi apenas renomear a variável. A condição x\to a é equivalente a dizer que a diferença x-a tende a zero; portanto, estudar f(x) quando x\to a é o mesmo que estudar f(a+t) quando t\to 0. A prova formal usa exatamente essa substituição x=t+a.

Passo 4

Prova da direção B \Rightarrow A (ou seja, suponha \lim_{t\to 0} f(t+a)=L e prove \lim_{x\to a} f(x)=L).
Agora assumimos:
\text{(Hipótese)}\qquad \lim_{t\to 0} f(t+a)=L.ó
Pela definição, dado qualquer \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<|t|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(t+a)-L|<\varepsilon.
Queremos provar que \lim_{x\to a} f(x)=L. Seja \varepsilon>0 arbitrário. Tome o \delta>0 fornecido pela hipótese anterior. Agora considere qualquer x com 0<|x-a|<\delta e deixe t = x-a. Então 0<|t|<\delta, e pela hipótese obtemos
|f(x)-L| = |f(t+a)-L| < \varepsilon.
Isto mostra que sempre que 0<|x-a|<\delta temos |f(x)-L|<\varepsilon, logo, pela definição, \lim_{x\to a} f(x)=L. Direção B \Rightarrow A provada.

Passo 5

Comentário final e generalização simples: as duas provas são praticamente o mesmo argumento com troca de variável x\leftrightarrow t+a. Portanto o limite é invariante por translação na variável independente: afirmar \lim_{x\to a} f(x)=L é equivalente a afirmar \lim_{t\to 0} f(t+a)=L. Um exemplo concreto para fixar a ideia: se f(x)=x^2 e a=3, então \lim_{x\to 3} x^2 = 9 e também \lim_{t\to 0} (t+3)^2 = 9; são a mesma afirmação escrita com variáveis deslocadas.

Resposta

\lim_{x\to a} f(x)=L \iff \lim_{x\to 0} f(x+a)=L

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