Suponha que
, onde
é base de
e
é base de
. Prove que
é base de
. Generalize este resultado.
Passo 1
O enunciado nos diz que
, onde
e
são subespaços de dimensão
. A base de
é
e a base de
é
. Queremos mostrar que
é base de . Para isso precisamos provar que
gera
e que
é linearmente independente. Em seguida generalizaremos para somas diretas em dimensão arbitrária.
é base de
Passo 2
(Prova de geração)
Como , cada vetor
se escreve de modo único como
Como
Mas
gera
, logo existe escalar
tal que
. Analogamente, existe escalar
tal que
. Assim
mostrando que
gera todo
.
Passo 3
(Prova de independência linear)
Suponha que existam escalares tais que
Suponha que existam escalares
Então
O lado esquerdo pertence a
e o direito a
, logo
. Mas, em soma direta,
. Conclui-se
e
. Como
e
são não-nulos, segue
e
. Logo
é linearmente independente.
Passo 4
Como
gera
e é linearmente independente, é base de
.
Passo 5
(Generalização)
Seja um espaço vetorial que se decompõe em soma direta de dois subespaços
e
, isto é,
Seja
Se
é base de
e
é base de
, então
gera
(mesmo argumento de decomposição única) e é independente (mesmo argumento de interseção trivial). Portanto
é base de
. Mais geralmente, se
e cada
tem base
, então
é base de
e