Suponha que \mathbb{R}^{2}=U \oplus W, onde \alpha=\{u\} é base de U e \beta=\{v\} é base de W. Prove que \gamma=\alpha \cup \beta é base de \mathbb{R}^{2}. Generalize este resultado.

Passo 1

O enunciado nos diz que \mathbb{R}^{2}=U\oplus W, onde U e W são subespaços de dimensão 1. A base de U é \alpha=\{u\} e a base de W é \beta=\{v\}. Queremos mostrar que
\gamma=\alpha\cup\beta=\{u,v\}
é base de \mathbb{R}^{2}. Para isso precisamos provar que \gamma gera \mathbb{R}^{2} e que \gamma é linearmente independente. Em seguida generalizaremos para somas diretas em dimensão arbitrária.

Passo 2

(Prova de geração)
Como \mathbb{R}^{2}=U\oplus W, cada vetor x\in\mathbb{R}^{2} se escreve de modo único como
x = u' + w',\quad u'\in U,\;w'\in W.
Mas \alpha=\{u\} gera U, logo existe escalar a tal que u'=a\,u. Analogamente, existe escalar b tal que w'=b\,v. Assim
x = a\,u + b\,v,
mostrando que \{u,v\} gera todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

(Prova de independência linear)
Suponha que existam escalares a,b tais que
a\,u + b\,v = 0.
Então
a\,u = -\,b\,v.
O lado esquerdo pertence a U e o direito a W, logo a\,u\in U\cap W. Mas, em soma direta, U\cap W=\{0\}. Conclui-se a\,u=0 e b\,v=0. Como u e v são não-nulos, segue a=0 e b=0. Logo \{u,v\} é linearmente independente.

Passo 4

Como \gamma=\{u,v\} gera \mathbb{R}^{2} e é linearmente independente, é base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 5

(Generalização)
Seja V um espaço vetorial que se decompõe em soma direta de dois subespaços U e W, isto é,
V = U \oplus W.
Se \alpha é base de U e \beta é base de W, então \alpha\cup\beta gera V (mesmo argumento de decomposição única) e é independente (mesmo argumento de interseção trivial). Portanto \alpha\cup\beta é base de V. Mais geralmente, se
V = U_{1}\oplus U_{2}\oplus\cdots\oplus U_{k}
e cada U_{i} tem base \alpha_{i}, então
\bigcup_{i=1}^{k}\alpha_{i}
é base de V e
\dim V = \sum_{i=1}^{k} \dim U_{i}.

Resposta

\gamma=\{u,v\} é base de \mathbb{R}^{2}. Generalizando, a união das bases de subespaços em soma direta é base do espaço total.

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