Se W_{1} e W_{2} são subespaços bidimensionais de \mathbb{R}^{3}, pode ocorrer W_{1} \cap W_{2}=\{(0,0,0)\} ?

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado W_{1} e W_{2} subespaços de dimensão 2 em \mathbb{R}^{3}, a interseção W_{1}\cap W_{2} pode ser apenas \{(0,0,0)\}. Para responder, vamos usar o Teorema da Dimensão para subespaços lineares, que diz:
\dim(U)+\dim(V)=\dim(U+V)+\dim(U\cap V).

Passo 2

Aplicando ao caso U=W_{1} e V=W_{2}, temos
\dim(W_{1})=\dim(W_{2})=2 e, como W_{1}+W_{2}\subseteq \mathbb{R}^{3},
\dim(W_{1}+W_{2})\le \dim(\mathbb{R}^{3})=3.
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\dim(W_{1}\cap W_{2}) =\dim(W_{1})+\dim(W_{2})-\dim(W_{1}+W_{2}) \ge 2+2-3=1.
Isso mostra que \dim(W_{1}\cap W_{2})\ge1, ou seja, a interseção não pode ser só o vetor zero.

Resposta

Não. A interseção de dois subespaços bidimensionais de \mathbb{R}^{3} tem dimensão pelo menos 1, portanto contém vetores não nulos.

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