O volume V de um cilindro circular reto é calculado usando os valores 3,5 \mathrm{~m} de diâmetro e 6,2 \mathrm{~m} de altura. Use a diferencial para estimar o erro máximo no volume se cada uma das dimensões tem erro máximo de 5 \%. V=\pi r^{2} h

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do volume do cilindro e pede que eu estime o erro máximo no volume quando cada dimensão tem erro máximo de 5%. Informações fornecidas:
  • A fórmula: V=\pi r^{2} h.
  • Diâmetro: d=3,5\\ \mathrm{m}.
  • Altura: h=6,2\\ \mathrm{m}.
  • Erro máximo relativo em cada dimensão: 5\% (ou seja, cada dimensão pode variar até 5\% do seu valor).
O que é pedido: estimar o erro máximo em V usando diferenciais.

Passo 2

Entender a relação entre diâmetro e raio: o raio é metade do diâmetro. Portanto calculo o valor nominal do raio:
r=\frac{d}{2}=\frac{3,5}{2}=1,75\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Explicando o método das diferenciais (sem jargões): a diferencial dV é uma aproximação da variação do volume quando r e h mudam um pouco. Para funções de duas variáveis, a variação aproximada é a soma das contribuições de cada variável, pesadas pelas derivadas parciais:
dV\approx \frac{\partial V}{\partial r}\,dr+\frac{\partial V}{\partial h}\,dh.
Aqui dr é a pequena mudança no raio e dh é a pequena mudança na altura. A ideia prática: calcule as derivadas parciais, multiplique pelas pequenas mudanças e some. Essa soma dá a estimativa do erro absoluto em V.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de V=\pi r^{2}h:
\frac{\partial V}{\partial r}=2\pi r h, \qquad \frac{\partial V}{\partial h}=\pi r^{2}.
Explicando: \frac{\partial V}{\partial r} mede quanto V muda se só r variar; \frac{\partial V}{\partial h} mede quanto V muda se só h variar.

Passo 5

Determinar dr e dh a partir dos erros relativos de 5\%. Como o erro dado é percentual, o erro absoluto máximo em cada dimensão é 5\% do valor nominal. Logo:
|dr|_{\max}=0,05\,r, \qquad |dh|_{\max}=0,05\,h.
Observação importante: o erro percentual no diâmetro se transfere para o raio com a mesma percentagem, porque r=d/2 (uma multiplicação por constante não altera o percentual).

Passo 6

Usar a fórmula das diferenciais para estimar o erro absoluto máximo (tomando valores positivos para obter o máximo possível):
|dV|_{\max}\approx \left|2\pi r h\right|\,|dr|_{\max}+\left|\pi r^{2}\right|\,|dh|_{\max}.
Substituindo |dr|_{\max}=0,05r e |dh|_{\max}=0,05h:
|dV|_{\max}\approx 2\pi r h\cdot(0,05r)+\pi r^{2}\cdot(0,05h).

Passo 7

Fatorando \pi r^{2}h na expressão para simplificar (isso também mostra a relação percentual):
2\pi r h\cdot(0,05r)=2\cdot0,05\cdot\pi r^{2}h=0,10\pi r^{2}h,
\pi r^{2}\cdot(0,05h)=0,05\pi r^{2}h.
Somando:
|dV|_{\max}\approx(0,10+0,05)\pi r^{2}h=0,15\pi r^{2}h.
Isto mostra que o erro relativo aproximado em V é 15\%, porque V=\pi r^{2}h.

Passo 8

Calcular numericamente o volume nominal V e o erro absoluto. Primeiro r^{2} e r^{2}h:
r^{2}=(1,75)^{2}=3,0625,
r^{2}h=3,0625\cdot6,2=18,9875.
Volume nominal:
V=\pi r^{2}h=\pi\cdot18,9875\approx 59,645\\ \mathrm{m}^{3}.
Erro máximo absoluto:
|dV|_{\max}\approx 0,15\cdot V \approx 0,15\cdot59,645\approx 8,947\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 9

Arredondando para duas casas decimais (prática comum em estimativas de erro) e reforçando a interpretação: o erro máximo estimado pelo método das diferenciais é aproximadamente 8,95\\ \mathrm{m}^{3}, o que corresponde a um erro relativo de 15\% no volume.

Resposta

|dV|_{\max}\approx 8,95\\ \mathrm{m}^{3}
Erro relativo aproximado: 15\%

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