Suponha que \mathrm{A}, \mathrm{B} e C sejam matrizes quadradas inversíveis de mesma dimensão e conhecidas. Nos itens abaixo, determine (em função de \mathrm{A}, \mathrm{B} e C ) a matriz X que satisfaz a igualdade.
(g) 3 A X^{t} C=B.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação matricial
3\,A\,X^{t}\,C = B
onde A, B e C são matrizes quadradas inversíveis conhecidas, e X^{t} é a transposta de X. O conteúdo envolve álgebra de matrizes: uso de inversas e propriedades de transposta.

Passo 2

Isolamos X^{t}. Primeiro, multiplicamos à esquerda por \tfrac{1}{3}A^{-1} e à direita por C^{-1}. Assim:
X^{t} = \frac{1}{3}\,A^{-1}\,B\,C^{-1}.

Passo 3

Agora tranpomos ambos os lados. Lembrando que (MN)^{t}=N^{t}M^{t} e que escalar passa pela transposta:
X = \bigl(X^{t}\bigr)^{t} = \frac{1}{3}\,\bigl(A^{-1}B\,C^{-1}\bigr)^{t} = \frac{1}{3}\,(C^{-1})^{t}\,B^{t}\,(A^{-1})^{t}.
Como (C^{-1})^{t}=(C^{t})^{-1} e (A^{-1})^{t}=(A^{t})^{-1}, podemos escrever
X = \frac{1}{3}\,(C^{t})^{-1}\,B^{t}\,(A^{t})^{-1}.

Resposta

X = \frac{1}{3}\,(C^{-1})^{t}\,B^{t}\,(A^{-1})^{t}
ou equivalentemente
X = \frac{1}{3}\,(C^{t})^{-1}\,B^{t}\,(A^{t})^{-1}.

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