Suponha que
de
ocupem
a 298 K e que se expandam a
. Calcule
para o processo.
Passo 1
Dados fornecidos e o que se pede:
- Quantidade de substância:
. - Volume inicial:
. - Volume final:
. - Temperatura:
.
O enunciado pede: calcularpara o processo de expansão entre esses estados.
Passo 2
Escolha do método e ideia básica (sem resolver ainda):
- Vamos usar a relação termodinâmica que liga variação de energia livre de Gibbs com mudanças de pressão à temperatura constante.
- A equação diferencial relevante é
. Em processo isotérmico (temperatura constante, ) isso reduz para . - Para um gás ideal substituímos
e integramos entre as pressões iniciais e finais para obter em termos de e . Em seguida usamos a lei dos gases ideais para trocar a razão de pressões pela razão de volumes.
Passo 3
Derivando a fórmula usada (passo a passo didático):
- Começo lembrando a diferencial de
(cada símbolo explicado): -
é a energia livre de Gibbs do sistema (unidade J). -
é o volume do sistema (unidade ou desde que consistente). -
é a pressão (unidade Pa). -
é entropia e é temperatura (K).
-
- A expressão geral é
- Em processo isotérmico (
) obtemos
- Para integrar, precisamos de
em função de . Para um gás ideal vale a equação de estado , então
- Substituindo em
e integrando de a :
Passo 4
Trocar razão de pressões pela razão de volumes (uso da lei dos gases ideais):
- Pelo gás ideal em temperatura e quantidade fixas,
. Assim
- Substituindo na expressão de
obtemos a forma prática:
- Observação importante sobre unidades: a razão
é adimensional, logo não é necessário converter volumes (por exemplo de para ) porque as unidades se cancelam na razão.
Passo 5
Aplicando a fórmula aos números dados (contas mostradas passo a passo):
- Converter a quantidade para mol:
- Constante dos gases (usar em unidades compatíveis com J):
. - Temperatura:
. - Razão de volumes:
- Agora calcule
:
(Detalhe do cálculo:
, e
.)
- Calcule
:
- Finalmente,
Passo 6
Interpretação breve e encorajamento:
- O resultado
é negativo, o que indica que, a constante e para esse sistema, a mudança de estado tem diminuição da energia livre de Gibbs (ou seja, termodinamicamente favorável nessas condições). - Valor pequeno em magnitude porque a quantidade de gás é muito pequena (
). - Bom trabalho por enfrentar a questão! Está ficando mais tranquilo: é sempre a mesma receita — lembrar
em isotérmico e usar .