Suponha que 2,5 \mathrm{mmol} de \operatorname{Ar}(\mathrm{g}) ocupem 72 \mathrm{dm}^{3} a 298 K e que se expandam a 100 \mathrm{dm}^{3}. Calcule \Delta \mathrm{G} para o processo.

Passo 1

Dados fornecidos e o que se pede:
  • Quantidade de substância: 2,5\\ \mathrm{mmol}.
  • Volume inicial: V_1 = 72\\ \mathrm{dm}^3.
  • Volume final: V_2 = 100\\ \mathrm{dm}^3.
  • Temperatura: T = 298\\ \mathrm{K}.
    O enunciado pede: calcular \Delta G para o processo de expansão entre esses estados.

Passo 2

Escolha do método e ideia básica (sem resolver ainda):
  • Vamos usar a relação termodinâmica que liga variação de energia livre de Gibbs com mudanças de pressão à temperatura constante.
  • A equação diferencial relevante é \mathrm{d}G = V\,\mathrm{d}P - S\,\mathrm{d}T. Em processo isotérmico (temperatura constante, \mathrm{d}T=0) isso reduz para \mathrm{d}G = V\,\mathrm{d}P.
  • Para um gás ideal substituímos V = \dfrac{nRT}{P} e integramos entre as pressões iniciais e finais para obter \Delta G em termos de P_1 e P_2. Em seguida usamos a lei dos gases ideais para trocar a razão de pressões pela razão de volumes.

Passo 3

Derivando a fórmula usada (passo a passo didático):
  • Começo lembrando a diferencial de G (cada símbolo explicado):
    • G é a energia livre de Gibbs do sistema (unidade J).
    • V é o volume do sistema (unidade \mathrm{m}^3 ou \mathrm{dm}^3 desde que consistente).
    • P é a pressão (unidade Pa).
    • S é entropia e T é temperatura (K).
  • A expressão geral é
\mathrm{d}G = V\,\mathrm{d}P - S\,\mathrm{d}T.
  • Em processo isotérmico ( \mathrm{d}T=0) obtemos
\mathrm{d}G = V\,\mathrm{d}P.
  • Para integrar, precisamos de V em função de P. Para um gás ideal vale a equação de estado P V = n R T, então
V = \frac{n R T}{P}.
  • Substituindo em \mathrm{d}G e integrando de P_1 a P_2:
\Delta G = \int_{G_1}^{G_2}\mathrm{d}G = \int_{P_1}^{P_2} \frac{n R T}{P}\,\mathrm{d}P = n R T \int_{P_1}^{P_2}\frac{\mathrm{d}P}{P} = n R T \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).

Passo 4

Trocar razão de pressões pela razão de volumes (uso da lei dos gases ideais):
  • Pelo gás ideal em temperatura e quantidade fixas, P_1 V_1 = n R T = P_2 V_2. Assim
\frac{P_2}{P_1} = \frac{V_1}{V_2}.
  • Substituindo na expressão de \Delta G obtemos a forma prática:
\Delta G = n R T \ln\!\left(\frac{V_1}{V_2}\right).
  • Observação importante sobre unidades: a razão \dfrac{V_1}{V_2} é adimensional, logo não é necessário converter volumes (por exemplo de \mathrm{dm}^3 para \mathrm{m}^3) porque as unidades se cancelam na razão.

Passo 5

Aplicando a fórmula aos números dados (contas mostradas passo a passo):
  • Converter a quantidade para mol:
n = 2,5\\ \mathrm{mmol} = 2,5\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol}.
  • Constante dos gases (usar em unidades compatíveis com J): R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Temperatura: T = 298\\ \mathrm{K}.
  • Razão de volumes:
\frac{V_1}{V_2} = \frac{72}{100} = 0,72.
  • Agora calcule n R T:
n R T = \left(2,5\times 10^{-3}\right)\times 8,314 \times 298 \approx 6,19\\ \mathrm{J}.
(Detalhe do cálculo: 8,314\times 298 \approx 2477,7, e 2477,7\times 2,5\times10^{-3}\approx 6,194\\ \mathrm{J}.)
  • Calcule \ln(0,72):
\ln(0,72)\approx -0,3285.
  • Finalmente,
\Delta G = n R T \ln\!\left(\frac{V_1}{V_2}\right) \approx 6,19 \times (-0,3285) \approx -2,03\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação breve e encorajamento:
  • O resultado \Delta G\approx -2,03\\ \mathrm{J} é negativo, o que indica que, a T constante e para esse sistema, a mudança de estado tem diminuição da energia livre de Gibbs (ou seja, termodinamicamente favorável nessas condições).
  • Valor pequeno em magnitude porque a quantidade de gás é muito pequena ( 2,5\\ \mathrm{mmol}).
  • Bom trabalho por enfrentar a questão! Está ficando mais tranquilo: é sempre a mesma receita — lembrar \mathrm{d}G=V\mathrm{d}P em isotérmico e usar PV=nRT.

Resposta

-2,03\\ \mathrm{J}

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