Usando a equação de van der Waals juntamente com a equação de estado termodinâmica, avalie
para um gás de van der Waals.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos.
- O enunciado pede para avaliar
para um gás de van der Waals, ou seja, a derivada parcial da energia interna em relação ao volume a temperatura constante. - Informações implícitas que usarei:
- A equação de van der Waals (para uma mol de gás) é
. - Aqui
é a pressão, é o volume molar (volume por mol), é a temperatura, é a constante dos gases ideais, e são constantes características do gás que representam, respectivamente, atração intermolecular e volume excluído.
- A equação de van der Waals (para uma mol de gás) é
- Objetivo prático imediato: achar
em função de , e constantes do gás (se houver), usando a equação de estado fornecida.
Passo 2
Ferramenta termodinâmica principal (fórmula que vou usar) — explicação e justificativa.
- Existe uma identidade termodinâmica geral que relaciona
, e . Ela é derivada de e das relações de Maxwell. A identidade que precisamos é:
- O que isso significa, em palavras simples:
-
é quanto a energia interna varia se eu aumentar o volume mantendo a temperatura fixa. -
é como a pressão muda com a temperatura quando o volume é mantido fixo. - A identidade diz que essa variação de energia interna com volume (à T fixa) pode ser obtida a partir do comportamento da pressão com T e do próprio valor da pressão.
-
- Breve justificativa (sem detalhes formais longos, mas suficiente para a prova):
- Partindo de
, escrever como função de e e igualar coeficientes cruzados leva à identidade acima via relações de Maxwell. Essa é uma fórmula padrão usada em termodinâmica para ligar energia interna e a equação de estado.
- Partindo de
Passo 3
Escolher forma conveniente da equação de van der Waals e isolar
— explicação passo a passo.
- Vou trabalhar com uma mol de gás (caso comum em exercícios). A equação de van der Waals para uma mol é:
- Isolando
para poder calcular :
- Aqui cada símbolo novamente:
-
é a constante dos gases; -
e são constantes de van der Waals; -
é o volume molar; -
é a temperatura.
-
Passo 4
Calcular
explicitamente — passo a passo.
- Na expressão
, trate constante e derive em relação a . - A derivada de
em relação a (com fixo) é , porque e são constantes no diferencial. - A segunda parcela
não depende de , então sua derivada é zero. - Portanto:
Passo 5
Aplicar a identidade e simplificar para obter
.
- Usando a identidade
substituo
e
.
- Calculando:
- Simplificando termo a termo:
-
. - Resta apenas o sinal negativo do último termo com sinal negativo:
.
-
- Logo:
Passo 6
Interpretação física e integração (opcional, para entender melhor).
- O resultado
diz que a energia interna aumenta quando o volume diminui, de forma proporcional a e com intensidade dada por . Isso tem sentido físico: representa forças atrativas entre moléculas; quando se aproxima as moléculas (volume menor) a energia interna se torna mais negativa (mais ligada). Note que o sinal positivo aqui indica que ao aumentar (diferencial positivo) há acréscimo de energia interna? Para ver o formato total, integramos:
onde
é uma função arbitrária de
(correspondente à energia interna do gás ideal dependente apenas de
). Essa forma mostra explicitamente que a dependência volumétrica de
para o gás de van der Waals é
.