Usando a equação de van der Waals juntamente com a equação de estado termodinâmica, avalie (\partial \mathrm{U} / \partial \mathrm{V})_{\mathrm{T}} para um gás de van der Waals.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado pede para avaliar \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T para um gás de van der Waals, ou seja, a derivada parcial da energia interna U em relação ao volume V a temperatura T constante.
  • Informações implícitas que usarei:
    • A equação de van der Waals (para uma mol de gás) é \left(p+\dfrac{a}{V^2}\right)(V-b)=RT.
    • Aqui p é a pressão, V é o volume molar (volume por mol), T é a temperatura, R é a constante dos gases ideais, a e b são constantes características do gás que representam, respectivamente, atração intermolecular e volume excluído.
  • Objetivo prático imediato: achar \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T em função de V, T e constantes do gás (se houver), usando a equação de estado fornecida.

Passo 2

Ferramenta termodinâmica principal (fórmula que vou usar) — explicação e justificativa.
  • Existe uma identidade termodinâmica geral que relaciona U, p e T. Ela é derivada de dU = T\,dS - p\,dV e das relações de Maxwell. A identidade que precisamos é:
\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p.
  • O que isso significa, em palavras simples:
    • \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T é quanto a energia interna varia se eu aumentar o volume mantendo a temperatura fixa.
    • \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V é como a pressão muda com a temperatura quando o volume é mantido fixo.
    • A identidade diz que essa variação de energia interna com volume (à T fixa) pode ser obtida a partir do comportamento da pressão com T e do próprio valor da pressão.
  • Breve justificativa (sem detalhes formais longos, mas suficiente para a prova):
    • Partindo de dU = T\,dS - p\,dV, escrever dS como função de T e V e igualar coeficientes cruzados leva à identidade acima via relações de Maxwell. Essa é uma fórmula padrão usada em termodinâmica para ligar energia interna e a equação de estado.

Passo 3

Escolher forma conveniente da equação de van der Waals e isolar p — explicação passo a passo.
  • Vou trabalhar com uma mol de gás (caso comum em exercícios). A equação de van der Waals para uma mol é:
\left(p+\dfrac{a}{V^2}\right)(V-b)=RT.
  • Isolando p para poder calcular \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V:
p = \dfrac{RT}{V-b} - \dfrac{a}{V^2}.
  • Aqui cada símbolo novamente:
    • R é a constante dos gases;
    • a e b são constantes de van der Waals;
    • V é o volume molar;
    • T é a temperatura.

Passo 4

Calcular \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V explicitamente — passo a passo.
  • Na expressão p = \dfrac{RT}{V-b} - \dfrac{a}{V^2}, trate V constante e derive em relação a T.
  • A derivada de \dfrac{RT}{V-b} em relação a T (com V fixo) é \dfrac{R}{V-b}, porque R e V-b são constantes no diferencial.
  • A segunda parcela -\dfrac{a}{V^2} não depende de T, então sua derivada é zero.
  • Portanto:
\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \dfrac{R}{V-b}.

Passo 5

Aplicar a identidade e simplificar para obter \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T.
  • Usando a identidade
\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p,
substituo \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \dfrac{R}{V-b} e p = \dfrac{RT}{V-b} - \dfrac{a}{V^2}.
  • Calculando:
\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\cdot\dfrac{R}{V-b} - \left(\dfrac{RT}{V-b} - \dfrac{a}{V^2}\right).
  • Simplificando termo a termo:
    • T\cdot\dfrac{R}{V-b} - \dfrac{RT}{V-b} = 0.
    • Resta apenas o sinal negativo do último termo com sinal negativo: +\dfrac{a}{V^2}.
  • Logo:
\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T = \dfrac{a}{V^2}.

Passo 6

Interpretação física e integração (opcional, para entender melhor).
  • O resultado \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T = \dfrac{a}{V^2} diz que a energia interna aumenta quando o volume diminui, de forma proporcional a 1/V^2 e com intensidade dada por a. Isso tem sentido físico: a>0 representa forças atrativas entre moléculas; quando se aproxima as moléculas (volume menor) a energia interna se torna mais negativa (mais ligada). Note que o sinal positivo aqui indica que ao aumentar V (diferencial positivo) há acréscimo de energia interna? Para ver o formato total, integramos:
\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T = \dfrac{a}{V^2}\quad\Rightarrow\quad U(T,V) = g(T) - \dfrac{a}{V},
onde g(T) é uma função arbitrária de T (correspondente à energia interna do gás ideal dependente apenas de T). Essa forma mostra explicitamente que a dependência volumétrica de U para o gás de van der Waals é -a/V.

Resposta

\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T = \dfrac{a}{V^{2}}

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