Sejam A, B e C matrizes dadas e P=P^prime>0, X=X^prime>0 e W variáveis a serem determinadas tais que
P>W^prime W+(A^prime P-B^prime P C)(P-X^-1)^-1(P A-C^prime P B)
Formule a busca por P, W e X em termos de uma LMI.

Passo 1

O enunciado pede que a desigualdade
P > W^primeW ;+;(A^primeP - B^primePC),(P - X^-1)^-1,(PA - C^primePB)
seja reescrita como uma LMI em P=P^primesucc0, X=X^primesucc0 e W.
O truque é usar o complemento de Schur duas vezes: primeiro para “tirar” o inverso de (P-X^-1), e depois para eliminar o termo W^primeW.

Passo 2

Definimos
M ;=; PA ;-; C^primeP,B,
de modo que (A^primeP - B^primeP,C)=M^prime.
Então a condição
P - W^primeW ;-; M,(P - X^-1)^-1M^prime;succ;0
é equivalente, pelo complemento de Schur, à LMI
P - W^primeW & M^prime[1ex] M & P - X^-1 ;succ;0, P - X^-1;succ;0
]

Passo 3

Para eliminar também o termo W^primeW, aplicamos complemento de Schur à matriz
P & W^prime[0.5ex] W & I ;succ;0 Long<=ftrightarrow P - W^primeW;succ;0
]

Passo 4

Reunindo tudo num único bloco 3times 3 que garanta ambas as LMIs acima, obtemos a condição convexa:
P & M^prime & W^prime[1ex] M & P - X^-1 & 0[1ex] W & 0 & I ;succ;0,
com as variáveis de decisão
P=P^primesucc0, X=X^primesucc0, W; livre
]

Resposta

A busca por P, W e X pode então ser formulada como encontrar
P=P^primesucc0, X=X^primesucc0, W
sujeito à única LMI
P & A^primeP - B^primeP,C & W^prime[1ex] P,A - C^primeP,B & P - X^-1 & 0[1ex] W & 0 & I ;succ;0
]

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