Suponha que a matriz aumentada de um sistema linear tenha sido transformada na seguinte matriz por operações elementares. Continue o processo de resolução e descreva o conjunto solução do sistema original.
\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 0 & -3 & -9 \\\\ 0 & 1 & 0 & 4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos deu uma matriz aumentada já obtida por operações elementares:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & -3 & -9 \\\\ 0 & 1 & 0 & 4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right]
O que é pedido: continuar o processo de resolução e descrever o conjunto solução do sistema original (isto é, encontrar os valores das incógnitas do sistema linear que corresponde a essa matriz aumentada).
Informações relevantes dadas:
  • A matriz é a matriz aumentada de um sistema com quatro incógnitas que chamaremos de x_1,x_2,x_3,x_4.
  • As quatro primeiras colunas correspondem aos coeficientes das incógnitas x_1,x_2,x_3,x_4, respectivamente.
  • A última coluna (após a barra) corresponde aos termos constantes (vetor lado direito).
  • A matriz já está em forma escalonada com entradas 1 em posições de pivô nas quatro primeiras colunas.

Passo 2

Interpretação da matriz aumentada como um sistema linear: cada linha da matriz corresponde a uma equação do sistema. Vou escrever explicitamente as quatro equações (pegando os coeficientes e termos constantes da matriz fornecida).
Da primeira linha:
1\cdot x_1 + 2\cdot x_2 + 0\cdot x_3 -3\cdot x_4 = -9.
Da segunda linha:
0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 0\cdot x_3 +4\cdot x_4 = 2.
Da terceira linha:
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 +0\cdot x_4 = 5.
Da quarta linha:
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 +1\cdot x_4 = -1.
Para simplificar, escrevo as equações sem os coeficientes zero:
\begin{aligned} x_1 + 2x_2 - 3x_4 &= -9,\\\ x_2 + 4x_4 &= 2,\\\ x_3 &= 5,\\\ x_4 &= -1. \end{aligned}

Passo 3

Observação sobre pivôs e liberdade das variáveis: a matriz tem pivôs (colunas com liderança) nas colunas correspondentes a x_1,x_2,x_3,x_4. Isso significa que todas as variáveis são básicas (nenhuma é livre) e devemos obter uma solução única (se o sistema é consistente). Como há uma linha por variável e não aparece equação contraditória do tipo 0= \text{constante não nula}ã, o sistema é consistente e tem solução única. Agora aplicamos substituição reversa (back-substitution) para obter os valores numéricos.

Passo 4

Começamos pela equação mais simples (da quarta linha) que já está isolada em x_4. A equação é:
x_4 = -1.
Registro: o valor de x_4 é -1.

Passo 5

Usamos o valor de x_4 na equação da terceira linha. A terceira linha já dá x_3 isolado:
x_3 = 5.
Registro: o valor de x_3 é 5.

Passo 6

Agora substituímos x_4=-1 na segunda equação que é
x_2 + 4x_4 = 2.
Substituindo x_4=-1:
x_2 + 4\cdot(-1) = 2.
Calculando o produto 4\cdot(-1):
x_2 - 4 = 2.
Isolando x_2:
x_2 = 2 + 4 = 6.
Registro: o valor de x_2 é 6.

Passo 7

Finalmente substituímos x_2=6 e x_4=-1 na primeira equação
x_1 + 2x_2 - 3x_4 = -9.
Primeiro calculamos 2x_2:
2x_2 = 2\cdot 6 = 12.
E -3x_4:
-3x_4 = -3\cdot(-1) = 3.
Agora substituímos esses valores na equação:
x_1 + 12 + 3 = -9.
Somando 12+3:
x_1 + 15 = -9.
Isolando x_1:
x_1 = -9 - 15 = -24.
Registro: o valor de x_1 é -24.

Passo 8

Resumo e interpretação final sobre o conjunto solução: encontramos valores para todas as incógnitas sem parâmetros livres, então o conjunto solução é o único vetor solução dado por
(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-24,\,6,\,5,\,-1).
Isto significa que o sistema original tem solução única e esse é o vetor que satisfaz todas as equações.

Resposta

(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-24,\,6,\,5,\,-1)

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