Suponha que a matriz aumentada de um sistema linear tenha sido transformada na seguinte matriz por operações elementares. Continue o processo de resolução e descreva o conjunto solução do sistema original.
\left[\begin{array}{cccc}1 & -4 & 9 & 0 \\\\ 0 & 1 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada já parcialmente escalonada:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -4 & 9 & 0 \\\\ 0 & 1 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right].
Informações que temos e o que nos pediram:
  • Três colunas correspondem às variáveis x_{1},x_{2},x_{3} (colunas 1 a 3) e a quarta coluna é o termo independente (lado direito) — isto é, a matriz é a forma aumentada do sistema linear.
  • O problema pede para continuar o processo de resolução (ou seja, terminar a eliminação/retro-substituição) e descrever o conjunto solução do sistema original.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações correspondentes às linhas da matriz (pegando os coeficientes das colunas como as variáveis):
\begin{cases} x_{1}-4x_{2}+9x_{3}=0,\\[4pt] \;x_{2}+7x_{3}=0,\\[4pt] \;2x_{3}=0. \end{cases}
Isso já mostra, linha a linha, o sistema que estamos resolvendo. A terceira linha dá uma equação simples em x_{3}, a segunda relaciona x_{2} e x_{3}, e a primeira relaciona x_{1},x_{2},x_{3}.]

Passo 3

Método: vamos terminar a redução por Gauss–Jordan (reduzir até a forma escalonada reduzida) porque ela entrega diretamente os valores de cada variável sem precisar muita substituição manual. Alternativa é fazer retro-substituição; ambas dão o mesmo resultado. Vou seguir Gauss–Jordan porque transforma a matriz em uma forma muito clara (identidade à esquerda se houver solução única).
Começamos por transformar o pivô da terceira linha em 1 dividindo a linha 3 por 2. Aplicando a operação R_{3}\leftarrow\frac{1}{2}R_{3} obtemos:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -4 & 9 & 0 \\\\ 0 & 1 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Agora eliminamos as entradas não nulas na coluna 3 acima do pivô de terceira linha.
  • Subtrair 7 vezes a linha 3 de R_{2}: R_{2}\leftarrow R_{2}-7R_{3}.
  • Subtrair 9 vezes a linha 3 de R_{1}: R_{1}\leftarrow R_{1}-9R_{3}.
Aplicando essas operações à matriz do passo anterior obtemos, em sequência, primeiro a modificação em R_{2}:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -4 & 9 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right],
e depois a modificação em R_{1}:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -4 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 5

Falta eliminar a entrada -4 na posição (1,2) para obter a forma reduzida completa. Usamos R_{1}\leftarrow R_{1}+4R_{2}. Aplicando:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].
Essa é a forma escalonada reduzida (RREF). Cada coluna de variável tem um pivô e a coluna aumentada (última) é toda zeros, sem contradição do tipo 0= b com b\neq 0. Isso indica consistência e que todas as variáveis são básicas (nenhuma livre).

Passo 6

Ler a RREF é direto: cada linha corresponde a uma equação do tipo x_{i}= \text{(valor no lado direito)}. Da matriz final temos as equações
x_{1}=0,\qquad x_{2}=0,\qquad x_{3}=0.
Explicando um pouco a ideia por trás disso (para você usar na prova): quando a matriz reduzida tem pivot em cada coluna de variável (a esquerda da coluna dos termos independentes), não há variáveis livres e o sistema tem exatamente uma solução. Se a coluna de termos independentes tivesse um valor não nulo numa linha onde os coeficientes das variáveis fossem todos zero, o sistema seria inconsistente. Aqui não é o caso.

Passo 7

Resumo conceitual rápido e dica de prova:
  • A terceira linha inicial deu 2x_{3}=0 x_{3}=0.
  • Substituindo na segunda linha: x_{2}+7\cdot 0=0 x_{2}=0.
  • Substituindo na primeira: x_{1}-4\cdot 0+9\cdot 0=0 x_{1}=0.
    Ambas as abordagens (Gauss–Jordan ou retro-substituição) são válidas; use a que você se sentir mais confortável durante a prova. Você está no caminho certo — foco nisso e tudo fica mais simples!

Resposta

\{(0,0,0)\}

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