Suponha que a matriz
B=\left[\begin{array}{cccc} 2 & 10 & 9 & 11 \\\\ 0 & -1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 15 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]
tenha sido obtida de A, aplicando-se sucessivamente as seguintes operações elementares sobre linhas:
a) Troca da linha L_{2} com a linha L_{3}.
b) Substituição da linha L_{3} por L_{3}+7 L_{1}.
c) Substituição da linha L_{4} por \frac{1}{3} L_{4}.
Calcule \operatorname{det}(A).

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
  • Nos é dada a matriz
B=\begin{pmatrix} 2 & 10 & 9 & 11 \\\\ 0 & -1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 15 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
  • Diz-se que B foi obtida a partir de A aplicando-se, sucessivamente, as operações sobre linhas (na ordem indicada):
    1. troca de L_{2} com L_{3};
    2. substituição de L_{3} por L_{3}+7L_{1};
    3. substituição de L_{4} por \tfrac{1}{3}L_{4}.
  • O que se pede: calcular \det(A).

Passo 2

Lembrete importante sobre como operações elementares sobre linhas afetam o determinante (essa é uma regra que sempre cai em prova; memorize ou anote!):
  • Trocar duas linhas (por exemplo trocar L_i e L_j) muda o sinal do determinante. Ou seja, a operação tem fator multiplicativo -1.
    Exemplo rápido: para \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&2\end{pmatrix} o determinante é 2. Se trocarmos as linhas obtemos \begin{pmatrix}0&2\\\ 1&0\end{pmatrix} com determinante -2.
  • Repor uma linha por ela mais um múltiplo de outra linha (por exemplo L_i \leftarrow L_i + c L_j) não altera o determinante; fator multiplicativo 1.
    Exemplo rápido: somar 2 vezes a primeira linha à segunda em uma matriz não altera \det.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
    Exemplo rápido: se uma matriz tiver determinante d e multiplicar L_2 por \tfrac{1}{3}, o novo determinante será \tfrac{1}{3}d.
Vou usar essas três regras para relacionar \det(B) e \det(A).

Passo 3

Aplicando as regras às operações dadas, na ordem em que foram executadas:
  • Operação (a): troca de L_{2} com L_{3} multiplica o determinante por -1.
  • Operação (b): L_{3}\leftarrow L_{3}+7L_{1} não altera o determinante (fator 1).
  • Operação (c): L_{4}\leftarrow \tfrac{1}{3}L_{4} multiplica o determinante por \tfrac{1}{3}.
Portanto, o determinante de B e de A satisfaz
\det(B)=\left(-1\right)\cdot(1)\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)\det(A)= -\tfrac{1}{3}\det(A).

Passo 4

Isolando \det(A) na relação acima:
\det(A) = -3\,\det(B).
Esse é o passo estratégico: primeiro relacionar os determinantes via os fatores das operações, depois resolver para \det(A).

Passo 5

Agora calculamos \det(B). A matriz B é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), e para matrizes triangulares vale a propriedade:
\det(\text{matriz triangular})=\prod_{i}\text{(elementos da diagonal)}.
Aqui os elementos da diagonal de B são 2,\\\ -1,\\\ 1,\\\ 2. Logo
\det(B)=2\cdot(-1)\cdot 1\cdot 2 = -4.

Passo 6

Finalmente substituímos em \det(A) = -3\,\det(B):
\det(A) = -3\cdot(-4)=12.
Pronto — o resultado é 12. Força aí, já era uma conta curta no final!

Resposta

\det(A)=12

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