tenha sido obtida de A, aplicando-se sucessivamente as seguintes operações elementares sobre linhas:
a) Troca da linha L_{2} com a linha L_{3}.
b) Substituição da linha L_{3} por L_{3}+7 L_{1}.
c) Substituição da linha L_{4} por \frac{1}{3} L_{4}.
Diz-se que B foi obtida a partir de A aplicando-se, sucessivamente, as operações sobre linhas (na ordem indicada):
troca de L_{2} com L_{3};
substituição de L_{3} por L_{3}+7L_{1};
substituição de L_{4} por \tfrac{1}{3}L_{4}.
O que se pede: calcular \det(A).
Passo 2
Lembrete importante sobre como operações elementares sobre linhas afetam o determinante (essa é uma regra que sempre cai em prova; memorize ou anote!):
Trocar duas linhas (por exemplo trocar L_i e L_j) muda o sinal do determinante. Ou seja, a operação tem fator multiplicativo -1.
Exemplo rápido: para \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&2\end{pmatrix} o determinante é 2. Se trocarmos as linhas obtemos \begin{pmatrix}0&2\\\ 1&0\end{pmatrix} com determinante -2.
Repor uma linha por ela mais um múltiplo de outra linha (por exemplo L_i \leftarrow L_i + c L_j) não altera o determinante; fator multiplicativo 1.
Exemplo rápido: somar 2 vezes a primeira linha à segunda em uma matriz não altera \det.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
Exemplo rápido: se uma matriz tiver determinante d e multiplicar L_2 por \tfrac{1}{3}, o novo determinante será \tfrac{1}{3}d.
Vou usar essas três regras para relacionar \det(B) e \det(A).
Passo 3
Aplicando as regras às operações dadas, na ordem em que foram executadas:
Operação (a): troca de L_{2} com L_{3} multiplica o determinante por -1.
Operação (b): L_{3}\leftarrow L_{3}+7L_{1} não altera o determinante (fator 1).
Operação (c): L_{4}\leftarrow \tfrac{1}{3}L_{4} multiplica o determinante por \tfrac{1}{3}.
Esse é o passo estratégico: primeiro relacionar os determinantes via os fatores das operações, depois resolver para \det(A).
Passo 5
Agora calculamos \det(B). A matriz B é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), e para matrizes triangulares vale a propriedade:
\det(\text{matriz triangular})=\prod_{i}\text{(elementos da diagonal)}.
Aqui os elementos da diagonal de B são 2,\\\ -1,\\\ 1,\\\ 2. Logo
\det(B)=2\cdot(-1)\cdot 1\cdot 2 = -4.
Passo 6
Finalmente substituímos em \det(A) = -3\,\det(B):
\det(A) = -3\cdot(-4)=12.
Pronto — o resultado é 12. Força aí, já era uma conta curta no final!