Sendo
e
matrizes invertíveis de ordem
, isole a matriz
em cada equação abaixo:
;
Passo 1
O enunciado dá a equação matricial
e pede para isolar a matriz
. Informações fornecidas:
-
e são matrizes invertíveis de ordem . -
é a matriz identidade de ordem .
O objetivo é encontrarem termos de e .
Passo 2
Lembrete útil sobre inversas e multiplicação de matrizes (passo-a-passo didático).
- Dizer que uma matriz
é invertível significa que existe uma matriz tal que
- A multiplicação de matrizes é associativa: para três matrizes compatíveis
vale
mas não é, em geral, comutativa (ou seja, normalmente
). Por isso a ordem de multiplicação importa.
- Se
é invertível e , então multiplicando à esquerda por obtém-se . Analogamente, se e é invertível, multiplicando à direita por obtém-se .
Essas propriedades são as ferramentas que vamos usar para “cancelar”e na equação .
Passo 3
Primeira operação: eliminar
multiplicando à esquerda por
.
Aplicando à equação
temos, usando associatividade,
Aplicando
Como
e
, o lado esquerdo simplifica para
. O lado direito simplifica para
. Portanto obtemos
Passo 4
Segunda operação: eliminar
multiplicando à direita por
.
Partindo de e multiplicando à direita por
, usando associatividade,
Partindo de
Como
e
, o lado esquerdo simplifica para
. Assim ficamos com
Passo 5
Interpretações e identidades alternativas (úteis para a prova).
- Pode-se também escrever
usando a inversa do produto . A identidade padrão é
portanto
- Note que
não é igual a em geral, porque , que tem a ordem trocada. A ordem importa!
Passo 6
Prova rápida de unicidade da solução (para te deixar confiante na resposta).
Suponha que existam e
tais que
e
. Subtraindo as equações e multiplicando à esquerda por
e à direita por
obtém-se
. Logo a solução é única.
Suponha que existam
Passo 7
Verificação com um exemplo numérico simples (para visualizar como aplicar na prova).
Escolha matrizes diagonais invertíveis, por exemplo
Escolha matrizes diagonais invertíveis, por exemplo
Então
Pela fórmula encontrada,
Verificando:
confirmando que a fórmula funciona na prática.]