Sendo A e B matrizes invertíveis de ordem n, isole a matriz X em cada equação abaixo:
A X B=I_{n};

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial A X B = I_{n} e pede para isolar a matriz X. Informações fornecidas:
  • A e B são matrizes invertíveis de ordem n.
  • I_{n} é a matriz identidade de ordem n.
    O objetivo é encontrar X em termos de A e B.

Passo 2

Lembrete útil sobre inversas e multiplicação de matrizes (passo-a-passo didático).
  • Dizer que uma matriz A é invertível significa que existe uma matriz A^{-1} tal que
A^{-1}A = AA^{-1} = I_{n}.
  • A multiplicação de matrizes é associativa: para três matrizes compatíveis P,Q,R vale
P(QR) = (PQ)R,
mas não é, em geral, comutativa (ou seja, normalmente PQ \neq QP). Por isso a ordem de multiplicação importa.
  • Se A é invertível e A Y = Z, então multiplicando à esquerda por A^{-1} obtém-se Y = A^{-1}Z. Analogamente, se Y B = Z e B é invertível, multiplicando à direita por B^{-1} obtém-se Y = Z B^{-1}.
    Essas propriedades são as ferramentas que vamos usar para “cancelar” A e B na equação A X B = I_{n}.

Passo 3

Primeira operação: eliminar A multiplicando à esquerda por A^{-1}.
Aplicando A^{-1} à equação A X B = I_{n} temos, usando associatividade,
A^{-1}(A X B) = A^{-1} I_{n}.
Como A^{-1}A = I_{n} e I_{n}X = X, o lado esquerdo simplifica para X B. O lado direito simplifica para A^{-1}. Portanto obtemos
X B = A^{-1}.

Passo 4

Segunda operação: eliminar B multiplicando à direita por B^{-1}.
Partindo de X B = A^{-1} e multiplicando à direita por B^{-1}, usando associatividade,
(X B) B^{-1} = A^{-1} B^{-1}.
Como B B^{-1} = I_{n} e X I_{n} = X, o lado esquerdo simplifica para X. Assim ficamos com
X = A^{-1} B^{-1}.

Passo 5

Interpretações e identidades alternativas (úteis para a prova).
  • Pode-se também escrever X usando a inversa do produto BA. A identidade padrão é
(BA)^{-1} = A^{-1} B^{-1},
portanto
X = (BA)^{-1}.
  • Note que X não é igual a (AB)^{-1} em geral, porque (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}, que tem a ordem trocada. A ordem importa!

Passo 6

Prova rápida de unicidade da solução (para te deixar confiante na resposta).
Suponha que existam X_1 e X_2 tais que A X_1 B = I_{n} e A X_2 B = I_{n}. Subtraindo as equações e multiplicando à esquerda por A^{-1} e à direita por B^{-1} obtém-se X_1 = X_2. Logo a solução é única.

Passo 7

Verificação com um exemplo numérico simples (para visualizar como aplicar na prova).
Escolha matrizes diagonais invertíveis, por exemplo
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.
Então
A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix},\qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & 0\\[4pt]0 & \tfrac{1}{4}\end{pmatrix}.
Pela fórmula encontrada,
X = A^{-1}B^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & 0\\[4pt]0 & \tfrac{1}{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & 0\\[4pt]0 & \tfrac{1}{8}\end{pmatrix}.
Verificando:
A X B = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & 0\\[4pt]0 & \tfrac{1}{8}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix} = I_{2},
confirmando que a fórmula funciona na prática.]

Resposta

X = A^{-1} B^{-1}

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