O que se pede: indicar, entre A,B,C,D, quais são matrizes ortogonais.]
Passo 2
Definição e método prático (explicação passo a passo do conceito).
Uma matriz quadrada Q é ortogonal se
Q^{T}Q=I,
onde Q^{T} é a transposta de Q e I é a matriz identidade (mesma ordem).
Interpretação vetorial: se as colunas de Q forem vetores c_1,c_2,\dots, então Q é ortogonal se e somente se as colunas forem ortonormais, isto é:
produto escalar \langle c_i,c_j\rangle=0 para i\neq j (colunas mutuamente ortogonais),
norma \|c_i\|=1 para todo i (colunas unitárias).
Produto escalar em \mathbb{R}^n: para u=(u_1,\dots,u_n) e v=(v_1,\dots,v_n),
\langle u,v\rangle = \sum_{k=1}^{n} u_k v_k.
Estratégia prática para cada matriz: verificar Q^{T}Q (ou, mais simples, calcular produtos escalares entre colunas e normas) e checar se o resultado é a identidade.
Observação alternativa (mais rápida): a primeira coluna de B é \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} com norma \sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\neq1, já mostra que as colunas não são unitárias, então B não é ortogonal.
Conclusão: B não é ortogonal.]
Passo 5
Teste em C.
Note que C é simétrica, então C^{T}=C.
Calcular C^{T}C=C^2 fazendo produtos de linhas por colunas:
Conclusão: C é ortogonal.
(Observação extra: \det\text{(C)}= -1, então C é uma reflexão ou rotação-reflexão; mas o que interessa aqui é que C^{T}C=I.)]
Passo 6
Teste em D.
Trabalhar verificando produtos escalares entre colunas. Denotar as colunas por
Como existe um par de colunas com produto escalar diferente de zero, as colunas não são mutuamente ortogonais, logo D^{T}D\neq I.
Conclusão: D não é ortogonal.]