Dentre as matrizes abaixo, determine aquelas que são ortogonais:
A=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right] ; \quad B=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right] ; \quad C=\left[\begin{array}{cc}1 / 3 & 2 \sqrt{2} / 3 \\\\ 2 \sqrt{2} / 3 & -1 / 3\end{array}\right] ; \quad D=\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{3} / 3 & \sqrt{3} / 3 & \sqrt{3} / 3 \\\\ -\sqrt{6} / 3 & \sqrt{6} / 3 & \sqrt{6} / 3 \\\\ 0 & -\sqrt{2} / 2 & \sqrt{2} / 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece quatro matrizes e pede para determinar quais delas são ortogonais. As matrizes dadas são:
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & \tfrac{2\sqrt{2}}{3} \\[6pt] \tfrac{2\sqrt{2}}{3} & -\tfrac{1}{3}\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{3}}{3} & \tfrac{\sqrt{3}}{3} & \tfrac{\sqrt{3}}{3} \\[4pt] -\tfrac{\sqrt{6}}{3} & \tfrac{\sqrt{6}}{3} & \tfrac{\sqrt{6}}{3} \\[4pt] 0 & -\tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}.
O que se pede: indicar, entre A,B,C,D, quais são matrizes ortogonais.]

Passo 2

Definição e método prático (explicação passo a passo do conceito).
  • Uma matriz quadrada Q é ortogonal se
Q^{T}Q=I,
onde Q^{T} é a transposta de Q e I é a matriz identidade (mesma ordem).
  • Interpretação vetorial: se as colunas de Q forem vetores c_1,c_2,\dots, então Q é ortogonal se e somente se as colunas forem ortonormais, isto é:
    • produto escalar \langle c_i,c_j\rangle=0 para i\neq j (colunas mutuamente ortogonais),
    • norma \|c_i\|=1 para todo i (colunas unitárias).
  • Produto escalar em \mathbb{R}^n: para u=(u_1,\dots,u_n) e v=(v_1,\dots,v_n),
\langle u,v\rangle = \sum_{k=1}^{n} u_k v_k.
  • Estratégia prática para cada matriz: verificar Q^{T}Q (ou, mais simples, calcular produtos escalares entre colunas e normas) e checar se o resultado é a identidade.

Passo 3

Teste em A.
  • Calcular a transposta: A^{T}= \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=A.
  • Multiplicação:
A^{T}A = A A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
  • Fazer produto elemento a elemento:
    • entrada (1,1): 0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1,
    • entrada (1,2): 0\cdot 1 + 1\cdot 0 = 0,
    • entrada (2,1): 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0,
    • entrada (2,2): 1\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1.
  • Assim
A^{T}A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I.
Conclusão: A é ortogonal.]

Passo 4

Teste em B.
  • Calcular B^{T}:
B^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}.
  • Calcular B^{T}B:
B^{T}B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
  • Produto elemento a elemento:
    • entrada (1,1): 1\cdot 1 + 2\cdot 2 = 1 + 4 = 5,
    • entrada (1,2): 1\cdot(-2) + 2\cdot 1 = -2 + 2 = 0,
    • entrada (2,1): (-2)\cdot 1 + 1\cdot 2 = -2 + 2 = 0,
    • entrada (2,2): (-2)\cdot(-2) + 1\cdot 1 = 4 + 1 = 5.
  • Assim
B^{T}B=\begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix} = 5I \neq I.
Observação alternativa (mais rápida): a primeira coluna de B é \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} com norma \sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\neq1, já mostra que as colunas não são unitárias, então B não é ortogonal.
Conclusão: B não é ortogonal.]

Passo 5

Teste em C.
  • Note que C é simétrica, então C^{T}=C.
  • Calcular C^{T}C=C^2 fazendo produtos de linhas por colunas:
C^{T}C = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & \tfrac{2\sqrt{2}}{3} \\[6pt] \tfrac{2\sqrt{2}}{3} & -\tfrac{1}{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & \tfrac{2\sqrt{2}}{3} \\[6pt] \tfrac{2\sqrt{2}}{3} & -\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
  • Calcular entradas:
    • (1,1): \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 + \left(\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \tfrac{1}{9} + \tfrac{8}{9} = \tfrac{9}{9}=1.
    • (1,2): \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{2\sqrt{2}}{3} + \tfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right) = \tfrac{2\sqrt{2}}{9} - \tfrac{2\sqrt{2}}{9}=0.
    • (2,1): simetricamente 0.
    • (2,2): \left(\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 + \left(-\tfrac{1}{3}\right)^2 = \tfrac{8}{9} + \tfrac{1}{9} = 1.
  • Portanto
C^{T}C = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I.
Conclusão: C é ortogonal.
(Observação extra: \det\text{(C)}= -1, então C é uma reflexão ou rotação-reflexão; mas o que interessa aqui é que C^{T}C=I.)]

Passo 6

Teste em D.
  • Trabalhar verificando produtos escalares entre colunas. Denotar as colunas por
c_1=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{3}}{3}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{6}}{3}\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{3}}{3}\\[4pt]\tfrac{\sqrt{6}}{3}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{3}}{3}\\[4pt]\tfrac{\sqrt{6}}{3}\\[4pt]\tfrac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}.
  • Calcular o produto escalar \langle c_1,c_2\rangle:
\langle c_1,c_2\rangle = \tfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{3} + \left(-\tfrac{\sqrt{6}}{3}\right)\cdot\tfrac{\sqrt{6}}{3} + 0\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
  • Simplificar:
\tfrac{3}{9} + \left(-\tfrac{6}{9}\right) + 0 = \tfrac{3-6}{9} = -\tfrac{1}{3}\neq 0.
  • Como existe um par de colunas com produto escalar diferente de zero, as colunas não são mutuamente ortogonais, logo D^{T}D\neq I.
    Conclusão: D não é ortogonal.]

Resposta

A e C

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